信号与系统基础21 7新

4.4

信号的无失真传输第四章第2讲1失真与无失真：系统的响应波形与激励波形不同，信号在传输过程中将产生失真。线性系统引起的信号失真有两个原因：幅度失真与相位失真。称为线性失真。幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量；而非线性失真可能产生新的频率分量。无失真是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而波形不变化。无失真传输的条件在时域中：设激励信号为f(t),响应信号为y(t),

无失真传输的条件是y(t)=Kf(t-t0)式中：K是一常数，t0为滞后时间。若f(t)=d(t),

则y(t)=h(t)=Kd(t-t0),线性系统f(t)y(t)f

(t)ty(t)第四章第2讲2tt0无失真传输的条件在频域中：设激励频谱为F(jw

),

响应频谱为Y(jw),

无失真传输的条件是

Y(jw)=K

F(jw)e-jwt0其中：系统函数

H(jw)=

K

e

-jwt0j

(w

)w-w

t00H

(

jw

)Kw0第四章第2讲3相位失真的条件f

(t)=

A1

sin(

w1t)

+

A2

sin(2w1t)y(t)

=

KA1

sin(

w1t

-j1

)

+

KA2

sin(

2w1t

-j2

)设输入为则输出为为了使基波与二次谐波有相同的延迟时间，以保证不产生失真，就满足

))2

2

1

1

1

1w

2wj

j1

w1w

(t

-+

KA

sin

2=

KA

sin

(t

-01j1

=

j

21w

2w=

t常数2

1第四章第2讲4j1

=

w1j

2w观察相位失真f1(t)原信号f1

(t)

=

[sin(

2pt)

+

sin(

5pt)]

[e(t)

-

e(t

-1)]f

2

(t)

=

[sin(

2p

(t

-1))

+

sin(

5p

(t

-1))]

[e(t

-1)

-

e(t

-

2)]f3

(t)

=

[sin(

2p

t

-

2p

)

+

sin(

5p

t

-

2p

)]

[e(t

-1)

-

e(t

-

2)]f2(t)无失真f3(t)有失真第四章第2讲5例

题在如图所示电路中，输出电压u(t),

输入电流

is(t),

试求电路频域系统函数H(jw)。为了能无失真传输，试确定R1和R2的数值。解：系统函数为+-R1R21H1FiS

(t)u(t)jw第四章第2讲6Rw

Cjw

C

1

jwSU

(

jw

)H

(

jw

)

=

=I

(

jw

)

1

112jw

R

+1

2R

R

+1

+1)(R

+

jw

L)2(R

+=+

R1

+

jw

L

R1

+

R2

+

jw

+R2

+

j无失真传输的条件为：R1=R2=1W

，这时H(jw

)=14.5

理想低通滤波器的响应理想低通滤波器特性：CKe-

jw

t00|

w

|<

w|

w

|>

w

CG2w

(w

)CH

(

jw

)

=H

(

jw

)j

H

(w

)Kw

C-w

Cw或：H

(jw

)=Ke-jw

t0第四章第2讲7其中：wc为截止频率。称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。冲激响应已知：Gt

(t)wt2p

Gt

(w

)ttttSa(

)

，根据对偶性：

Sa(

)2

2将t换成c2w

，得：pwSa(w

t)

G

(w

)C

2wcC02w

c(w

)

e-

jw

t0(t

-

t

)]

GCp根据时移特性：w

C

Sa[(w0C(t

-

t

)]p\

h(t)=

Kw

C

Sa[(wh(t)

p

w

Ct0pK

w

C

t0第四章第2讲8阶跃响应-¥-¥Sa[w

C

(t

-

t0

)]dtg

(t)

=ttph(t)dt

=

Kw

C令x

=(t

-t0

)w

Cdysin

y

ySi

(x)

=x0第四章第2讲9

2

g

(t)

=-¥sin

xdx0C

0=

K

{-

Si

(-¥

)

+

Si[w

(t

-

t

)]}0xKpC=

K

1

+

1

Si[w

(t

-

t

)]Cw

(t

-t

)pp阶跃响应t0上升时间与频带的关系g(t)Kt0tr

K2

p

pw

C

w

C上升时间tr

，定义为从阶跃响应的极小值上升到极大值第四章第2讲10所经历的时间。它与频带wc的关系为Crtw=

2p阶跃响应第四章第2讲11结论阶跃响应的上升时间与系统的截止频率(频带)成反比。此结论对各种实际的滤波器同样具有指导意义。例如，一个一阶RC低通滤波器的阶跃响应为指数上升波形，上升时间与RC时间常数成正比，但从频域特性来看，此低通滤波器的带宽却与RC乘积值成反比.理想低通滤波器是非因果系统，是物理不可实现的。Crt

=

2pw带宽与阶跃响应上升时间的关系第四章第2讲12滤波器的概念第四章第2讲13理想低通滤波器信号通过系统时，系统使信号的某些频率分量通过，而使其他频率的分量受到抑制，这样的系统称为滤波器。若系统的幅频特性在某一频带内保持为常数而在该频带外为零，相频特性始终为过原点的一条直线，则这样的系统就称为理想滤波器。理想低通滤波器在的频率范围内（称为通带），信号能无衰减地通过，而对大于（称为阻带）的所有频率分量则完全抑制。称为理想低通滤波器的截止频率。滤波器的概念H

(

jw

)1w

C-wCw通带阻带阻带C理想低通滤波器的频率特性可写为(设相角为0)H

Lp

(

jw

)

=

G2w

(w

)H

(

jw

)1w

C-wCw通带阻带阻带2第四章第2讲141Cw

=

=

0.707截止频率理想低通滤波器非理想低通滤波器滤波器的概念理想高通滤波器的频率特性可写为H

Hp

(

jw

)

=

1

-

G2w

(w

)C21Cw

=

=

0.707截止频率理想高通滤波器非理想高通滤波器H

(

jw

)1w

C-wCw通带阻带通带H

(

jw

)1w

C-wCw通带阻带通带第四章第2讲15滤波器的概念理想带通滤波器的频率特性可写为H

Bp

(

jw

)

=

G2w

(w

+

w

0

)

+

G2w

(w

-

w

0

)]C

C理想带通滤波器H

(

jw

)1w

00-ww阻带通带通带Cw

+w0Cw

-w0第四章第2讲16滤波器的概念理想带通滤波器的频率特性可写为H

BS

(

jw

)

=

1

-

H

Bp

(w

)理想带通滤波器H

(

jw

)1w

0-w

0w阻带通带通带Cw

+w0w0

-wC阻带第四章第2讲17通带例4.8H(jw)f(t)y(t)图示为信号处理系统，已知f(t)＝20cos100t[cos104t]2

，理想低通滤波器的传输函数H(jw)＝G240(w

)，求零状态响应y(t)。H(jw)第四章第2讲18w0-1201201解：f(t)＝20cos100t[cos104t]2＝10cos100t＋5(cos20100t＋cos19900t)故:

F(j

)＝10

[

(

+100)＋

(

-100)]＋5

[

(

+20100)+

(

-20100)+

(

)+

(

-19900)]Y(jw

)＝H(jw

)F(jw)＝10p[d(w+100)+

d(w

-100)]故得:

y(t)＝10cos100t例4.9理想低通滤波器的系统函数H(jw)＝|H(jw)|e-jw

t0

如图所示。证w

Cw

ct明此滤波器对于p

d

(t)和sin

w

ct

的响应是一样的。H

(

jw

)-w

t0Kw

C-w

CwC第四章第2讲19w解：F

(jw

)=p1w2

2w

CCF

(

jw

)

=

p

G

(w

)w

C当激励为p

d

(t)时，响应的频谱为：(w

)0wp2w

C-

jw

tY1

(

jw

)

=

H

(

jw

)F1

(

jw

)

=

K

e

GC当激励为时，响应的频谱为：

c

w

ctsin

w

t(w

)0wp2w

CC-

jw

tY2

(

jw

)

=

H

(

jw

)F2

(

jw

)

=

K

e

G

Y1

(

jw

)

=

Y2

(

jw

),

\

y1

(t)

=

y2

(t)补充例题(习题4-8)图示是理想高通滤波器的幅频与相频特性，求该滤波器的冲激响应。j

(w

)w-w

t0H

(

jw

)1-w

C

w

Cw解：由理想高通滤波器特性可知，其特性可用１－理想低通特性（门函数）表示。即：-

jw

tH

(

jw

)

=

[1

-

G2w

(w

)]e

0Ch(t)第四章第2讲2000=

d(t

-

t

)

-CSa[w

(t

-

t

)]Cpw故，冲激响应为：例4.10带限信号f

(t)通过如图所示系统，已知f

(t)、H1(jw

)、H2(jw

)频谱如图所示，画出x(t)、y(t)的频谱图。cos9tf

(t)x(t)H1(jw

)

H2(jw

)

y

(t)wF(jw)

1

-9 -6

0

6

9

15解：频谱图如下-15w0cos9tH1(jw)

1

9-9w0H2(jw)29w0

6

9

15-15 -9 -6X(jw)1

½第四章第2讲21-9例4.10求y(t)的频谱w-15 -9 -6X(jw)

½0

6

9

15XS(jw)w-15 -9 -6¼0

6

9

15Y(jw)w

½

-9

-60

6

9第四章第2讲22调制与解调第四章第2讲23调制与解调：所谓调制，就是用一个信号（原信号也称调制信号）去控制另一个信号（载波信号）的某个参量，从而产生已调制信号，解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：调幅，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。调频，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。调相，利用原始信号控制载波信号的相位。这三种调制方式的实质都是对原始信号进行频谱搬移，将信号

的频谱搬移到所需要的较高频带上，从而满足信号传输的需要。调幅f

(t)y(t)s

(t)

=

cosw

0t信道f

S

(t)调制信号载波信号已调信号fS

(t)=f

(t)cosw0t其频谱为FS(jw

)=½{F[j(w-

w

0)]+F[j(w+

w

0)]}y(t)=

f

(t)cosw0t由此可见，原始信号的频谱被搬移到了

频率较高的载频附近，达到了调制的目的。第四章第2讲24解调本地载波信号0已调信号y

(t)=f

(t)cosw

t其频谱为G(jw

)=½F(jw)+¼{F[j(w-2w0)]+F[j(w+2w0)]此信号的频谱通过理想低通滤波器，可取出F(jw)，从而恢复原信号f

(t)。f

(t)y(t)s

(t)

=

cosw

0t-w

c

w

c20g(t)2第四章第2讲25=

f

(t)

cos2w

0t

=

1

[

f

(t)

+

f

(t)

cos

2w

0t]g

(t)

=

y(t)

s(t)

=

f(t)

s

2

(t)例4.11求f

(t)=1

Sa(2t)的信号通过图(a)的系统后的输p出y(t)。系统中的理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性j

(w

)

=

0

。理想带通f

(t)cos1000ty(t)wH

(

jw

)011000-10001001999-

999-1001解：已知：Sa(w

t)(w

)2w

Cw

p

GCC2第四章第2讲2641

G

(w

)

=

F

(

jw

)p\

1

Sa(2

t)4=

1

[G4

(w

+1000)

+

G4

(w

-1000)]2F1

(

jw

)

=

1

{F[

j(w

+1000)]

+

F[

j(w

-1000)]设：f1

(t)=f

(t)cos1000t例4.11输出的频谱：Y

(jw

)=H

(jw

)F1

(jw

)4=

1

[G2

(w

+1000)

+

G2

(w

-1000)]2p21

Sa(t)

G

(w

)f

(t)

cos

bt

1

[F

(w

+

b)

+

F

(w

-

b)]由：2py(t)

=

1

Sa(t)cos1000t故系统的响应为wH

(

jw

)011000-10001001999-

999-1001wF1

(

jw

)1

41000-1000-998

0

998

1002-1002第四章第2讲27例

4.12

求后的输出。系统中的理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性j

(w

)=0

。理想低通f

(t)y(t)pf

(t)=1

Sa(t)cos1000t

的信号通过图(a)的系统wH

(jw

)1-10

1pcos1000t解：设：f

(t)=1

Sa(t)21f

(t)

=

f

(t)

cos2

1000t

=

1

[

f