等腰三角形（第1课时）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第一章

三角形的证明1.1等腰三角形

北师大版·八年级上册第1课时

等腰三角形的性质

在八年级上册第七章“平行线的证明”中，给出了8条基本事实4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；一、温故知新3.判定方法：(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）(2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）(3)三边分别相等的两个三角形全等（SSS）(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形FEDCBA基本事实一、温故知新定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全（AAS）证明命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；

(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.二、探索新知

你能运用基本事实及已经学过的定理证明吗？（一）全等三角形的判定定理已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).

∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），

∴∠C=∠F（等量代换）.

∵BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）.FEDCBA定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全（AAS）定理

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)FEDCBA在△ABC和△DEF中

∠A=∠D

∠B=∠E

BC=EF（或AC=DF）∴△ABC≌△DEF.定理可以直接使用（一）全等三角形的判定定理几何语言：推论:等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(简称“三线合一”).定理:等腰三角形的两个底角相等.(二)等腰三角形的性质2.你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?1.定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形ABC

你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?ABC已知：△ABC中，AB=AC,求证：∠B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:

等腰三角形的两个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证我们曾利用折叠方法探索了等腰三角形的性质启发：我们可以作一条辅助线把等腰三角形分成两个全等三角形，从而来证明等腰三角形性质；已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？定理:等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中定理:等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：

过点A作BC的垂线交于点D，

则∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理，得∴BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2,∵AC=AB，AD=AD,∴BD=CD∴BD=CD,AD=AD,∴∠ADB=∠ADC=90°∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法三：过A作底边的垂线定理:等腰三角形的两个底角相等方法一：作底边上的中线AD方法二：作顶角的平分线AD方法三：过A作底边的垂线ADABCD思考:上述的三种方法所做的线段AD是同一条线段吗？线段AD有什么特点？思考：如图，折痕AD还具有怎样的性质？你有什么新的发现？解：∵△BAD≌

△CAD，

∴BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.

又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，

即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.

ABCD推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.定理:等腰三角形的两个底角相等.ACB数学语言：∵如图，在△ABC中，AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).定理简述为：等边对等角

等腰三角形的性质ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2∴BD=CD,AD⊥BC∵AB=AC,BD=CD∴∠1=∠2,AD⊥BC∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2数学语言：如图,在△ABC中,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合推论简述为：三线合一

三、典例精练知识点一：全等三角形的性质与判定例1：如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，

∠A＝∠D，求证：AB＝DF

证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF，BC＝EF∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AB＝DF例2：如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∠BAD＝28°，则∠C＝（）A．31° B．56° C．62° D．76°C考点二：等腰三角形的性质三、考点精练知识点二：等腰三角形的性质例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的是中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．解：∵AB＝AC，D为BC的是中点，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝

（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°.三、典例精练1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝（）A．40°

B．70°

C．50°

D．60°四、课堂练习A2．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55° B．55°，55°或70°，40° C．70°，40° D．70°，40°或70°，55°四、课堂练习B

突破：在等腰三角形中,给出一个角的大小，要分顶角和底角的情况讨论3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（）A．16 B．12 C．10 D．8A四、课堂练习4．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°

B．40°C．45°D．50°A四、课堂练习5．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB交EF于点D，AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，∠EAB＝∠CAF，∠EAF＝80°，则∠FAC＝（）A．40° B．60° C．50° D．70°四、课堂练习A6．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.四、课堂练习证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌

△ACE(SAS)，∴AD＝AE7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE=BD，∠BAC=80°，求∠ADE的大小．四、课堂练习解：解：∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠B=∠C=

（180°-∠BAC）=50°，∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED=

（180°-∠B）=65°，∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°．小结：通过本节课的学习，谈谈收获及疑惑五、课堂小结等腰三角形性质内容数学语言图示等边对等角

三线合一等腰三角形的两个底角相等等腰三角形顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合∵AB＝AC（已知）∴∠B＝∠C（等边对等角）①∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴BD＝DC，A