角平分线（第1课时）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第一章

三角形的证明1.4角平分线

北师大版·八年级上册第1课时

角平分线如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.O一、情景导入角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边距离相等结合我们前面学习的定理的证明方法，

你能写出这个性质的证明过程吗？二、探索新知已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.几何语言：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC应用:常用来证明两条线段相等角平分线的性质定理：PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）定理内容条件结论图示性质定理判定定理

在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线角平分线性质与判定定理

角平分线上的点到角两边的距离相等.OP

平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OBPD⊥OA,PE⊥OB，

PD=PE.

PAOBCDEPD=PEOP平分∠AOB例1：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，

∴AD平分∠BAC

又∵∠BAC=60°，

∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5三、典例精练知识点一：角平分线的性质三、典例精练知识点二：角平分线的判定例2：如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．求证：OC平分∠MON；证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

在Rt△ADC和Rt△BEC中，AC=AC，AD＝BE∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON1．如图，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于D，PD＝3cm，则点P到OB的距离为（）A．5cm

B．4cm

C．3cm

D．2cm四、课堂练习C2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（）A．80 B．40 C．20 D．10B四、课堂练习3．如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1cm，BC＝4cm，则△BEC的面积是（）A．1cm2

B．2cm2

C．3cm2

D．4cm2四、课堂练习B4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝4：3，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．4：3

B．16：9

C．2：D．9：4A四、课堂练习5．如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，点E在OA上，∠AOB＝50°，∠OPE＝30°．则∠PEC的度数是（）A．50°

B．55°

C．45°

D．60°四、课堂练习B6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为（）A．6

B．5

C．4

D．3四、课堂练习D7．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵△ABC的面积是10cm2，∴S△ABD+S△ADC＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，∴AB•DE+AC•DF＝10∴3DE+2DF＝10，∴5DE＝10，∴DE＝2cm，∴DE的长为2cm．四、课堂练习9.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMABP解：如图所示：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上.四、课堂练