公式法（第1课时）（课件）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第四章

因式分解4.3公式法

北师大版·八年级下册

第1课时平方差公式a米b米b米

a米(a-b)如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)一、温故知新整式乘法1－9a2x2-259x2-y2计算下面的式子(3)

(1+3a)(1-3a)=

.(1)(x+5)(x-5)=

.(2)(3x+y)(3x-y)=

.

平方差公式：两数和与两数差的积,等于两个数的平方差分解因式(3)1-9a2=

.(1)x2-25=

.

(2)9x2-y2=

.

根据左边写结果整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.(x+5)(x-5)

(3x+y)(3x-y)

(1+3a)(1-3a)分式分解的方法：公式法—平方差公式多项式特点两数的和与差的积有两项是平方项，且符号异号①左边：②右边：22首－尾＝(首＋尾)(首－尾)表示为：二、探索新知下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？(1)m2

-81(2)1-16b2(3)4m2+9(4)a2x2

-25y2(5)-x2

-25y2(6)-x2

+16y2三、学以致用√×√√×√有两项是平方项，符号异号★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

例1:把下列各式分解因式：（1）25－16x2解(1)原式=52－(4x)2=(5+4x)(5-4x)找出a、b，将两项写成平方的形式三、例题讲解例2:把下列各式分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．三、例题讲解平方差公式中字母a、b可以表示数，还可以表示单项式、多项式或单项式与单项式的乘积等。例3：

把下列各式分解因式：解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).三、例题讲解当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解要把每一个因式分解到不能分解为止用平方差公式法分解因式知识总结★多项式特点：有两项是平方项，且符号异号因式分解的一般步骤：1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.第一步，找出a、b,将两项写成平方的形式；第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.例1：因式分解：(1)1－x2＝______________；(2)a2－9＝______________．(3)x2－4y2＝________________；(4)4a2－9＝_________________．(1＋x)(1－x)(a＋3)(a－3)(x＋2y)(x－2y)(2a＋3)(2a－3)三、典例精练知识点一：直接运用平方差公式因式分解例2：因式分解：(1)m3－m＝__________________；(2)am2－an2＝___________________；(3)5x2－5y2＝__________________；(4)a－ax2＝__________________．

m(m＋1)(m－1)a(m＋n)(m－n)5(x＋y)(x－y)a(1＋x)(1－x)三、典例精练知识点二：先提公因式再运用平方差公式因式分解(1)2x3-8x解：原式=2x(x2-4)

=2x(x2-22)

=2x(x+2)(x-2)三、典例精练例3：因式分解：知识点二：先提公因式再运用平方差公式因式分解(2)5m2a4－5m2b4；＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；解：(2)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)例4.

利用因式分解进行简便计算：（1）5352－4652（2）

53.52×4-46.52×4.解：原式＝(535＋465)×(535－465)

＝1000×70

＝70000三、典例精练知识点三：平方差公式因式分解的应用(2)原式＝4(53.52－46.52)=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．三、典例精练知识点三：平方差公式因式分解的应用例6.已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x－y＝－2②.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得三、典例精练知识点三：平方差公式因式分解的应用方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9D四、课堂练习2.分解因式：16－x2＝(

)A．(4＋x)(4－x)B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x)D．(4－x)2A四、课堂练习3.将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(

)A．a(a－1)B．a(a－2)C．(a－2)(a－1)D．(a－2)(a＋1)B四、课堂练习4.分解因式(2x+3)2

-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3)

B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)

D．3(x+1)(x+3)

D四、课堂练习5.把x3－9x分解因式，结果正确的是(

)

A．x(x2－9)B．x(x－3)2C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3)D四、课堂练习6.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21B．21C．-10D．10A四、课堂练习7.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=_________________;(2)(a+b)2-(a-b)2=_________________;

(3)9xy3-36x3y=_________________;(4)

-a4+16=_________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)四、课堂练习8.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，四、课堂练习9.(1)已知m＋n＝10，m－n＝2，求m2－n2的值；解：∵m＋n＝10，m－n＝2，∴m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝10×2＝20(2)已知a＋b－4＝0，a2－b2＝8，求a－b的值．解：由a＋b－4＝0，得a＋b＝4，∵a2－b2＝8，∴(a＋b)(a－b)＝8，即4(a－b)＝8，∴a－b＝2四、课堂练习10.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.四、课堂练习11.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)∵

992-1=(99+1)(99-1)=100×98，∵n为整数∴(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？∴992-1能否被100整除.(2)原式=(2