线段的垂直平分线（第1课时）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第一章

三角形的证明1.3线段的垂直平分线

北师大版·八年级上册第1课时

线段的垂直平分线

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头P应建在什么位置？AB码头P一、情景导入作AB的线段垂直平分线

垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线

●●lAA′D21二、探索新知l⊥AA′交于点D，AD=A′D线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合

直线l是线段AB的垂直平分线，p是直线l的一点，线段AB沿直线l折叠BAPl

因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.ACBPMN你能证明这个定理吗？证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB

(全等三角形的对应边相等)已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.ACBPMN符号语言：∵如图,PC⊥AB,AC=BC,（P是线段AB垂直平分线上的一点）∴PA=PB.应用：常用来证明两条线段相等定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．CBPA命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上PA=PB，要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上情况一：当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；BPA已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上CBPA情况二：当点P在线段AB外时，如图.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.你还有其他证明方法吗？已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上CBPA情况二：当点P在线段AB外时，如图.（1）过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C（2）取线段AB的中点C，连接PC（3）过P点作∠APB的角平分线交AB于点C直线PC是线段AB的垂直平分线

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：几何语言：∵

PA=PB，∴点P

在AB

的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，DE为AB的垂直平分线．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．三、典例精练知识点一：线段垂直平分线的性质解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴C△ACD＝AC+CD+DA

＝AC+CD+DB

＝AC+BC＝14（cm）；例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，DE为AB的垂直平分线．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．三、典例精练知识点一：线段垂直平分线的性质（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝2x，∵∠C＝90°，∴x+2x+2x＝90°，

解得

x＝18°，则∠B＝2x＝36°．例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC，

∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点O在线段BC的垂直平分线.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？利用三角形的全等证明三、典例精练知识点二：线段垂直平分线的判定例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC，OB=OC，OA=OA

∴△AOB≌△AOC

(SSS)

∴∠BOA=∠COA.∵AB=AC

∴直线AO是线段BC的垂直平分线这个题给了你什么启示？三、典例精练知识点二：线段垂直平分线的判定思考：到线段AB两个端点距离相等点的位置有什么关系？BA都在同一条直线上，这条直线是线段的垂直平分线.1．如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA＝1，则PB()A．等于1B．小于1C．大于1D．不能确定A四、课堂练习2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA四、课堂练习3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为()A．50°B．70°C．75°D．80°B四、课堂练习4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．8B．9C．10D．11C四、课堂练习5.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是

cm.ABCDE16四、课堂练习A四、课堂练习7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．四、课堂练习证明：∵DE⊥AB，AC⊥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，

在△AED和△ACD中，∠AED＝∠ACB，∠DAE＝∠DAC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，DE＝DC∴AD平分线段EC，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长．四、课堂练习解：（1）∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝35°，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝70°，

∵点D是BE的中点，AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝70°，∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝40°；8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长．四、课堂练习解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝DE，∴C△ABC＝AC+CB+AB

＝AC+CD+DB+AB

＝AC+CD+（DE+CE）

＝AC+2CD

＝6+