第3课时 勾股定理的应用【新知探究+归纳总结】 八年级数学 上册备课精研（北师大版）

1.3勾股定理初中数学

勾股定理的4种证明方法：赵爽弦图刘徽“青朱出入图”加菲尔德总统拼图毕达哥拉斯拼图知识回顾

ACBabc1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.3.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决.学习目标这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？课堂导入分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.例1如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ACOBD

ACOBD

ACOBD所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.运用勾股定理解决实际问题的一般步骤1.从实际问题中抽象出几何图形；2.确定所求线段所在的直角三角形；3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；4.求得结果.勾股定理应用的常见类型1.已知直角三角形的任意两边求第三边；2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；4.求解几何体表面上的最短路程问题；5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.1.在一次台风中，小红家的树在离地面3米的地方被拦腰截断，树的顶部落在离根部4米的地方，你能计算出这棵树没截断前的高度吗？跟踪训练新知探究分析：根据题意，可以将地面、截断倒地的树的部分、剩余未截断的树的部分构建成一个直角三角形.

ACB

ACB

分析：根据勾股定理可以得出直角三角形的第三边也相等，然后利用“三边相等”来证明全等.

1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.

ABC随堂练习2.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图1），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺．

解：把台阶展成如图的平面图形，连接AB.

3.如图，台阶下A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它走的最短路程是多少？

1.小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（C

）.A.0.7米

B.

1.5米C.

2.2米

D.2.4米0.72.42.521.5拓展提升2.已知一个三角形工件尺寸如图，计算高l的长（结果取整数）.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.

ABCDl88mm64mm88mm3.有一块土地形状如图所示，∠B=∠D=90〫，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积.解：连接AC，则S四边形ABCD=S△ABC+

S△ADC.

答：这块土地的面积为234平方米.思考我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？船只在航行的时候需要确定方向和位置.课堂导入如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？知识点1：勾股定理逆定理的应用新知探究通过题目已知条件可以得出：1.PR的长度2.PQ的长度3.∠1的度数4.RQ的长度分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.

解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，RQ=30.

所以∠RPQ=90〫.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45〫.因此∠2=45〫，即“海天”号沿西北方向航行.1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？跟踪训练新知探究分析：根据图示的距离，可以判断出以A，B，C三地位置构成的三角形是直角三角形.解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，

所以△ABC是直角三角形，且∠B=90〫，所以C地在B地的正北方向.2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90〫.求四边形ABCD的面积.CBAD分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边AC.根据AC，CD，AD的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90〫.

3.小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？北南东西OA分析：如图所示，小明先向东走到A处，则OA=80m.根据题意，小明应该是往东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论.解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O.

所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1=90〫.因此小明向东走80m后，又向北走了60m，再走100m回到原地.北南东西OB1A（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O.同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2=90〫.因此小明向东走80m后，又向南走了60m，再走100m回到原地.综上所述，小明向东走80m后，又向南或向北走了60m，最后走100m回到原地.北南东西OB1B2A1.如图所示，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35〫的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？北ABC35〫拓展提升解：由题意得：AC=30×2=60（海里），AB=40×2=80（海里）.

2.某探险队的A组从驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时B组也从驻地O点出发，以9km/h的速度向另一方向前进.2h后同时停下来，如图所示，这时