第六章导数期末冲刺-T

导数高二期末冲刺讲义一、知识精讲知识点一：导数的概念及其运算1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为：.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.2、导数的概念（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.3、导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.4、基本初等函数的导数公式基本初等函数导数(为常数)()()(，)5、导数的运算法则若，存在，则有（1）（2）（3）6、复合函数求导复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.知识点二：导数与函数的单调性关系1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）条件恒有结论函数在区间上可导在内单调递增在内单调递减在内是常数函数2、求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.（2）已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则（3）已知函数在区间上不单调，使得4、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性知识点三：导数与函数的极值和最值1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.二、考法分析考法一、导数的概念及其运算1、（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A2、（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）已知函数在处的导数为，则（

）A． B． C． D．【答案】C3、（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理））已知，则________.【答案】4、（多选）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD，，，，故AD错误，BC正确.故选：BC.5、（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数，则__________.【答案】4，，则故答案为：6、已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B，由题意，函数，可得，所以，则．故选：B.考法二、导数的几何意义①求切线方程（在型）1、（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））曲线在点处的切线过点，则实数（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A，解：因为，，，所以，切线方程为，因为切线过点，所以，解得．2、（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知函数，则函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C，则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C3、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B，因为，则，所以，，所以，直线的方程为，直线交轴于点，交轴于点，因此，直线与坐标轴围成的三角形的面积为.故选：B.4．（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C，由，显然在曲线上，所以曲线在点处的切线的斜率为，因此切线方程为：，直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，故选：C5、（2022·河南·模拟预测（文））函数在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A，依题意，，则，而，于是有，即，所以所求切线方程为：.故选：A②求切线方程（过型）1、（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（

）A．1 B．e C．－1 D．【答案】D，设切点为，，故在点的切线的斜率为，所以，所以切点为，切线的斜率为.故选：D2、（2022·全国·高三专题练习）若曲线的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C，由题意，可设切点坐标为(x0，)，由，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(8，3)，所以3－＝(8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.故选：C.3、（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C，解：因为，所以，设切点为，所以在切点处的切线方程为，又在切线上，所以，即，整理得，解得或，所以过点可作曲线的切线的条数为2.故选：C．4、（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B，由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率，所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为.故选：B.③已知切线方程（或斜率）求参数1、（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（

）A．-2 B．2 C．3 D．无法确定【答案】B2、（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（

）A．－2 B．－1 C．2 D．3【答案】B，函数的导数为，∴，即函数在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.3、（2022·吉林白山·一模（理））函数的图象在点处的切线斜率为1，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A，因为，所以，解得.4、（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D，设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.5、（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C考法三、利用导数研究函数单调性已知函数在区间上单调1、（2022·全国·高二课时练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C，【详解】由，得.由于函数在上单调递减，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以.2、（2022·福建·莆田一中高二期末）若函数在是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D，【详解】∵在上是增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，则为减函数.∴，故.已知函数在区间上存在单调区间1、（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A，【详解】因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以.故选：A2、（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B，【详解】试题分析：∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立．而，，即即，由题意知，存在，有成立，只需即可，设，则，在上是减函数，在上是增函数，而，，，．故选B．（3）已知函数在区间上不单调1、（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C，【详解】，，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合要求，舍去；当时，则要求的零点在内，的对称轴为，由零点存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范围.故选：C2、（2022·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数【答案】B，【详解】解：，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或（4）含参单调性讨论问题1、（2022·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习）设函数．讨论函数的单调性；【答案】函数定义域为，当时，，所以在上单调递减；当时，令，，令，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.2、（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数．讨论的单调性；【答案】（1）由可知，其中当时，在恒成立，即，故当时，在单调递增;当时，令，得，即在，；在，故当时，在在单调递增，在在单调递减.3、（2022·陕西·大荔县教学研究室一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；【答案】(1)(2)答案见解析（1）当时，，∴，，∴，故切线方程为：.（2），∴，，∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为：，②当时，，∴当时，；当时，，∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：.③当时，，∴当时；当时.∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：.综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：.当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.4、（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数．若时，试讨论的单调性；【答案】（1），，，若，则令，解得，，解得，故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．5、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数.讨论的单调性；【答案】（1）当时，则当时恒成立令，则∴在上单调递减，在上单调递增当时，令，则或①当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增②当，即时，则在上单调递增③当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在，上单调递增当时，则在上单调递增当时，则在上单调递减，在，上单调递增6、（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】（1），当时，恒成立，在定义域内单调递增；当时，方程有两个不同根，，由可得：，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，，当时，恒成立，在定义域内单调递增；综上：当时，在定义域内单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.考法四、利用导数研究函数极值与最值1、（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．【答案】(1)(2)（1）因为函数为奇函数，所以，从而得到，即，所以．因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为．（2），由，得，由，得或，所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，所以函数的极大值点是．2、（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数在；【答案】；（1）由，结合题设，有，的，所以或；当时，在上恒为增函数，故不是极值点.当时，，当时，，即在上单调递增，但时，，即在上单调递减，是极小值点，符合题意，故.3、（2022·河北唐山·高二期末）已知函数，当时，有极小值.(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为（1）解：因为，所以.依题意可得，即，解得，所以，经检验符合题意；（2）解：由（1）知，则，令，解得或，所以当时，当时，所以在上单调递增，在，，，所以最大值为，最小值为.4、（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知函数存在极值，并且在时取得极大值.(1)求的解析式；(2)当时，求函数的最值.【答案】(1)(2)（1）因为，所以，由题意知,解得,故，,当时，，递增，当时，，递减，故在时取得极大值，故符合题意，所以.（2）由（1）知，令，解得或，所以时，单调递减；时，单调递增，则，，所以.5、（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)（1），因为在处取得极值3，所以，即，解得.，经验证，满足题意，所以（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.由（1）知，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递增3单调递减单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为.作函数图象如下：所以实数的取值范围是.考法五、隐零点问题1、（2022·江西上饶·高二期末（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)的单调增区间为和，单调减区间为(2)(1)∵∴，由得或，且当或时，，当时，，∴的单调增区间为和，单调减区间为(2)依题意可得在上恒成立，令，则，令，易知在上单调递增，∵，∴，又∵，∴，使得，即有，且在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即m的取值范围为．2、（2022·吉林·高二期末）已知函数，．(1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)是的极大值点，无极小值点(2)（1）由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点．（2）解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，所以，当时等号成立，即，当时等号成立，所以的最小值为1．若恒成立，则，所以当时，恒成立．考法六、导数中的构造函数问题方法精讲：类型一：形如类型二：设函数是奇函数()的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是()A、B、C、D、【解析】令，∵为奇函数，∴为偶函数，，当时，，∴在上单调递减，则在上单调递增，又，，数形结合可知，使得成立的的取值范围是，选B。2、定义在上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为()A、B、C、D、与的大小关系不确定【解析】设，则，∴单调递增，当时，则，∴，选A。巩固训练1、（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.2、（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数求函数的单调区间；【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；【详解】(1)，①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.3、（2021·全国·高考真题（文））设函数，其中.讨论的单调性；【答案】的减区间为，增区间为；函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.4、（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．当时，求的单