中考数学复习一数与式复习重点、难点教学重点实数的有关概念与

#中考数学复习一数与式复习重点、难点教学重点：实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。教学过程：知识点回顾：(一)实数1.实数的有关概念［知识要点］(1)实数分类正分数负分数［［］正整数,数有理数卜数「零整数实数正分数负分数分数、无理数一一无限不循环小数实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。(2)数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。(3)绝对值a(a>0)绝对值的代数意义：lai=|。(a=0)-a(a<0)绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。(4)相反数、倒数相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。(5)三种非负数lai、a2、va(a>0)形式的数都表示非负数。“几个非负数的和(积)仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。(6)平方根、算术平方根、立方根的概念2.实数的运算［知识要点］(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。(2)有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。(3)加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。(4)近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为ax10n(其中1<lal<10,n为整数)。(5)实数大小的比较：两个实数比较大小,正数大于零和一切负数；两个正数,绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。(二)代数式代数式概念、运算以及简单应用［知识要点］(1)代数式的分类^［［单项式有理式;整式］多项式代数式1分式、无理式(2)各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。(3)代数式有意义的条件分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零,分子为零。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。(4)代数式的运算整式的加、减、乘、除、乘方运算,整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算；二次根式的加、减、乘、除四则运算。代数式的恒等变形［知识要点］(1)添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。(2)公式可正用、逆用、变用,因此公式可用于代数式恒等变形,特别是乘法公式,它是代数式恒等变形的重要工具。(3)因式分解是多项式乘法的逆变形,常作为代数式恒等变形的工具使用。因式分解主要有两种基本方法：提取公因式法,运用公式法。要注意方法的灵活选取和综合运用。(4)待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。代数式的化简求值［知识要点］(1)含有绝对值的代数式的化简,通常可利用数轴的直观性。(2)整式化简求值时要注意以下两点：①运用公式时，要从全局出发，有时要把某个部分看成一个整体；②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。(3)分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分,再运用分式的性质化简计算。(4)在给定字母的取值范围的情况下,对二次根式进行化简。

典型例题例1.已知x、y是实数，且满足（x-4）2+Jv_1=0,求x+2y的值。解：因为（x—4）2>0,77=1|>0又（x-4）2+\；y-1=0所以（x—4）2=0,飞歹=1=0所以x=4，y=1所以x+2y=4+2x1=6说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出小y的值，从而问题可解。例2.2005年10月中旬,我国“神舟六号”载人飞船准确进入预定轨道,飞船返回地面,期间飞船绕地球共飞行了76圈,飞行路程约为324万千米,用平常记数法表示,结果保留三位有效数字,则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行（）A.4.28x105千米b.4.26x105千米C.4.28x1O6千米d.4.26x106千米简析：32万千米=32400千米）324-000.0076426316保留三位有效数字用科学记数法表示为4.26x105。解：选B。说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题,是新课标的主要内容之一。本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。例3.计算：解：2x（-11）（解：2x（-11）（-1.52）2x（-1-）（-（-1.52）（-2）8———9说明：进行计算时,首先要注意观察题目中有哪几种运算,思考有无简便方法,然后确定运算顺序。注意遇到同一级运算时,应按自左向右的顺序进行计算,并要随时检查运算结果的符号。例4.比较下列实数大小：

(1)——与——；(2)3%；5与4.&2814解：（1）解1（作差法）：因为19-919—9义因为19-919—9义22814199所以>9281428二28>0因此-19<-2814解2(作商法)：19281914191TOC\o"1-5"\h\z因^为-TT-=X=>192891814199所以19>—2814因此-19因此-19<—2814(2)解1(平方法)：因为(3<5)2=45,(4<3)2=48又45<48,3<5>0,4v3>0所以3V5<4<3解2（比较被开方数法）：因为33=<32X5=<45,4V3=.1x3=<48又48>45所以、48>〈不因此4<3>3%5说明：比较两个分数的大小,还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。例5.分解因式：2(1-x)2+6a(x-1)3；16x2-(x2+4)2；x2y2-8xy3+16y4。解：(1)2(1-x)2+6a(x-1)3=2(x-1)2[1+3a(x-1)]=2(x-1)2(3ax-3a+1)16x2-(x2+4)2=(4x)2-(x2+4)2=(4x+x2+4)(4x-x2-4)=-(x2+4x+4)(x2-4x+4)=—(x+2)2(x—2)2

x2y2-8xy3+16y4=y2(x2-8xy+16y2)=y2[x2-8xy+(4y)2]=y2(x-4y)2说明：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。分解因式一定要彻定。TOC\o"1-5"\h\z11例6.已知*+=2%：3,求x4+一的值。xx411解：x4+——=(x2+——)2—2x4x2=[(x+1)2—2]2—2x=[(2.盘)2—2]2-2=102—2二9811说明：此题是反复运用完全平方公式，把x4+—变形为关于x+的代数式，从而x4x使问题得解。这是条件求值问题的一个基本思路。例7.当x取何值时，下列分式有意义？分式的值等于零?(1(1)x2-3x+2x2+2x-3简析：当分母等于零时,分式没有意义,此外分式都有意义；当分子等于零时,并且分母不等于零时,分式的值等于零。x2—3x+2(2)当分母x2+2x—3丰0，即x中1且xw—3时，分式^有意义。<1><2>x<1><2>解：根据题意,得x2-3x+2=解：根据题意,得x2+2x-3w0由<1>解得x=1或x=2由<2>解得xw1且xw—3x2—3x+2所以，当x=2时，分式c。的值等于零。x2+2x—3说明：(1)讨论分式有无意义时,一定对原分式进行讨论,而不能先化简,再对化简后的分式讨论。(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。(3)在解分式的有关问题时,应特别注意分母不为零这个隐含条件。例8.实数a、b、c在数轴上对应的点分别是A、B、C，其位置如图所示。试化简:Icl—lc+bl+la—cl+lb+al。BC11A.

01解：由图可知：a>0,b<0,c<0,b<c,Ibl>lal,Icl<lal所以lcl=-c,lc+bl=-c一bla-cl=a-c,lb+al=-b-a所以lcl-lc+bl+la-cl+lb+al=-c+c+b+a-c-b-a=-c说明：这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而脱去绝对值的符号，又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。例9.化简：v'a2-6a+9+la-4l,其中3<a<4。解：<a2-6a+9+la-4l=%；（a-3）2+la-4l=la-3l+la-4l因为3<a<4以、.:a2-6a+9+la-4l=la-3l+la-4l=a—3+4—a=1说明：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质vG=lal化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号。1a+3a2—2a+1例10.已知实数a满足a2+a-2=0,求一--——--——-―-的值。a+1a2-1a2+4a+3解：由a2+a—2=0,解得a=1,a=-212因为当a=1时，a2-1=0,所以a=1舍去1a+3a2-2a+1-.a+1a2-1a2+4a+3_1a+3（a-1）2=-.a+1（a+1）（a-1）（a+3）（a+1）1a-1=-a+1（a+1）2_2（a+1）22Sa=-2时，原式=-=2（-2+1）2说明：对于分式条件求值问题，要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。例11.现定义两种运算“㊉”“区”对任意两个整数aba㊉b=a+b-1,a区b=ab-1求4区［（6㊉8）㊉（3区5）］的值。解：由a㊉b=a+b—1知6㊉8=6+8—1=13由a区b=ab—1知3区5=3x5—1=14・•・4区［（6㊉8）㊉（3区5）］=4区（13㊉14）=4区（13+14—1）=4区26=4x26—1二1031111例12.请你将1，——，—，——，—，4Jl"J1-6按一定规律排列如下:第1行第2行第3行第4行第5行1111145611117891011111--1112131415111111第6行——■———————161718192021则第20行第十个数是多少？解：观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。所以第19行最后一个数的分母为+19=（1+19）x19二190第20行第一个数就为1-，第20行第十个数就为-焉巩固练习1,已知a、b、m是实数4a2—4am+m2+lm—2bl+,.b-2=0，求（ab）m的值。2.已知实数a、b、c（在数轴上的位置如图所示）acbIL__L__IIIU__I-3-2-101234化简2a+21—1c—bl-la+b+21.比较2+.3与1+•瓦的大小。，11.已知x+y=4，求5x2+xy+-y2的值。.化简求值：-+x(1+—)，其中x=♦v'2—1ox—1x.如果代数式4y2-2y+5的值为7,则代数式2y2-y+1的值是1.已知：x2—2x—1=0，求x4+的值。x4.当1<x<3时，化简t：(x—1)2+\：'(x—3)2o.定义新运算：x*y=x+2y，求a*b*[b*(—a)]。x—y一丁1一..计算：(1+c2)o+(-)-1+2cos30。观察图和相应的等式，探究其中的规律:在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。12.观察下列等式：.观察图和相应的等式，探究其中的规律:在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。12.观察下列等式：9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=20,这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n>1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为o13.如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷