南通市如东县2022-2023学年度第一学期高三数学期末试卷解析

南通市如东县2022-2023学年度第一学期高三数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.=≥1}=<8}，则∩=()已知集合，A.(1,3)【答案】B.[1,3)C.D.[1,+∞){1,2}B【解析】【分析】本题考查了集合的交集及其运算，属于基础题．由集合化简，结合集合，即可得到其交集的结果．【解答】∵=<8}=|<3}，解：=≥1}，∴∩={≤<3}=[1,3)．故选．B2.+=()++1=0的两个根，则21已知复数，是方程212+1+112D.0A.−1【答案】B.1C.−2C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．+=−1=1根据题意，可得：，，进行求解即可．【解答】1212++1=0的两个根，+=−1=1所以，，解：因为复数，是方程2121212+1)22))+1+==所以2122112211+1+1+1)12121211−1−1==−2．1−1+13..;;人商量去看电影甲说：乙去我才去乙说：丙去我才去丙说：甲不去我.乙不去我就不去最后有人去看电影，有人没去看电影，则人是：甲、乙、丙、丁四;就不去丁说：不去的()A.甲【答案】B.乙C.丙D.丁D【解析】【分析】本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．通过三个人的叙述，通过推理，得到结果．【解答】;丙不去，丙不去，则乙不去，则丁也不去，不合题意解：由题意，若甲不去，则;不去，甲不去丙也不去，则丁也不去，不合题意，若乙不去，则甲若丙不去，则乙不去，乙不去，则甲不去，且丁也不去，不合题意，若甲乙丙去，丁不去，完全符合题意4.⋅().在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面为均正方形称为方亭在方28亭的体积为，则侧面11的面积为()3D.3√11−==4，方C.2√2亭中，111111A.3√2B.√7

【答案】A【解析】【分析】本题考查棱台的体积、侧面积的计算，属于中档题．⊥⊥=2√2，则=√2，求出由棱台的体积求出棱台的高，过作，垂足为，连接，，过作，111111垂足为，易知四边形为等腰梯形，且=4√2，111，11再求出，利用梯形的面积公式，即可求出结果．【解答】1ℎ解：设方亭的高为，28==4，方亭的体积为因为，113(2+4+√2×4)×ℎ=ℎ=131328，解得，所以=2222如图，⊥过作连接，，过作，垂足为，⊥11=2√2，则=√2，11，垂足为，易知四边形11为等腰梯形，1111且=4√2，∴=+=√3，2211因为侧面11为等腰梯形，所以=2√√，√−=3−1=221112+)⋅=3√2．所以侧面11的面积为111故选．A5.已知锐角，满足=3(1+−−的最大值是()，则A.√3B.3C.3D.√33−3【答案】45D【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变形公式，考查基本不等式，属于中档题．首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差的正不等式即可求解．切公式，结合基本【解答】解：因为所以=3(1+−=22，，=因为锐角，，所以，2−===所以，1+3tan21+⩾2√3，当且仅当=√3时取等号，3因为所以>0，所以13−√的最大值是．3故选．D

6.−+1)的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含2的项的系数为64已知()A.25【答案】B.3C.5D.33C【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题．求出，利用展开式的通项公式即可求解．=12=64，故=5，，【解答】解：令可得展开式中所有项的系数之和为又+1)+1)=·，即5展开式的通项为5−=5．则展开式中含有2的系数为4355故选．C1+7.∑.24√√=3，}0已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若124=()16则A.1916C.43D.3B.9【答案】4A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和，以及等比中项，属于中档题．}≠0=·(+)=1·设正项等差数列的公差为，且，由等比中项得2，即221411+√√1=∑(−)=(−)=3，即24√√√√1∑(+)=24，得，251111(5−)=3，求得√√．1111【解答】}≠0解：设正项∵等差数列的公差为，且，，，成等比数列，∴=·(+)=·(+)，1242，即=，2214整理得，2∵≠0，1111∴=1，1−−124∵∑24=∑24√√=∑√√=∑(√−24++−)((√√√√)√√111√)=(√−√+√−√+...+√−√)=(√−√)=(√+−213225242511√1)=3，即1(5−)=3，即4√=√√，11111∵>0，1∴=1619故选：．．8.已知函数的2ln332+>0.=3)=)=，，导函数为，且若3ln2)，则()2A.B.C.D.>>>>>>>>【答案】

B【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用单调性比较大小，属于中档题．2ln3ln333)=()，设ℎ()=(>0)，利用导数得出当>时，，利用导数得出在(−∞,+∞)单调递增，且=3)=()，=设=32ln2ln222)=)，=3>>=4242ℎ′()<0，单调递减，比较出，即可求出结果．3【解答】解：设==+，则′′因为所以+>0恒成立，()>0，所以在(−∞,+∞)单调递增，2ln3ln3332ln2ln222则=3)=()，=)=)，=)=()，3设ℎ()=(>0)，则ℎ′()=0<<ℎ′()>0，单调递增，当时，>ℎ′()<0，单调递减，，2当时，3>>=4242>>所以所以，即，33)>)>)，223>>故选．即．B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列结论中正确的是()A.B.运用最小二乘法求得的0若相关系数2的值越接近于，表示回归模型的回归直线必经过点拟合效果越好C.已知随机变量服从二项分布1)，则+1)=42已知随机变量服从超几何分布，则=1)+=2)=4D.5【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查回归直线，考查相关系数，二项分布，超几何分布，属于中档题．()，可判断；根据相关系数的根据回归直线必经过样本点的中心分布的期望公式可判断；根据超几何分布的概率公式可判断．【解答】定义可判断；由二项();解：回归直线必经过样本点的中心，正确AB.若相关系数2的值越接近，表示回归模型的1拟合效果越好，错误；B12132232)，则()=3×=(+1)=2×+1=4，故C，C.若随机变量服从二项分布正确；1120124=1)+=2)=+==D.随机变量服从超几何分布，则，故D21556333326正确．

10.==1=+斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：.，，}中，1人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列2+,,=+3,不是的倍数==1，={1}，数列的前项和为，则()12是3的倍数,B.3A.【答案】5=5C.=D.=88041716152022BC【解析】【分析】本题考查数列的递推公式、数列的17周期性，属于中档题．5从第四项起为周期数列，且周期为，根据数列的递推公式求出数列的前项，得出数列为再对各选项逐项判定，即可求出结果．【解答】+,,不是的倍数3==1={,解：因为，1312是3的倍数13=+=2,=+=3,==1，所以32143254=+=4,=+=5,=+=9，654765876113==3,==1,=+=4，9810911109313=+=5,=+=9,==3，12111013121114131==1,=+=4,=+=5，...15141615141716153所以数列5从第四项起为周期数列，且周期为，=所以因为，故错误，正确；ABC++++=3+1+4+5+9=22，45678=+++403×22++++=8877，故D错误．所以故选．2022123BC123411.已知，分别为双曲线22−=>0)的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为124235.圆，过作圆的切线与交于、两点若C.512==()直径的，则11A.1【答案】B.4D.9AD【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．=2+=4，分情况讨论：(1)当直线与双曲线交于两支时，由题意可得，圆方程为22|=质求得，，在中，可求得，则利用双曲线的定义可得+;(2)即可求解当直线与双曲线交于同一支时，同⊥设过的切线与圆相切于点，可求得；过点作于点，由中位线的性=1122=|=412221理可求得．2【解答】122−=>0)，则=2，解：双曲线42圆是以双曲线的实轴为+=4，圆，则圆方程为22直径的当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆相切于点，1则，，==2⊥1

因为，所以|=|−⊥|==−=，21于点，2221过点作122所以，因为为的中点，212=1|=|==4，所以，123=,因为1212为锐角，12=45，=5，52=√1−所以12|==2所以24512=+=5+4=9所以．12当直线与双曲线交于一支时，记切点为，==2=，连接，则⊥，1过作于，则==4，22所以2|=|−|=，221122，3因为12=所以为锐角，512所以12=√1−12=45，2|===5，2所以245123==5×=3，2所以125=−=3−−=5−(3−==4=1，解得，，1所以12所以1=3−=1．1=1=9．综上，或故选：．1112.表面上，若=5=35=7=，√，，已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的12，球的表面积是，则()2

A.C.B.D.平面110与的夹角的余弦值是四棱锥的体积是15√2−【答案】ACD【解析】【分析】本题考查棱锥的的体积，线面平行的判定，正弦定理，余弦定理，球的外接问题，属于中档题．根据球的.=弦定理及已知条件可求得；对于，利用反证法即可判定；对于，由正弦=表面积公式，易得球的半径对于，因为，所以，结合余2定理可求得底面圆的直径，进而可求棱锥的高，从而可求，，再利用余弦定理求出与−；利用棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积，从而判断．1的夹角的余弦值−【解答】解：设底面圆的半径为，球的半径为，1已知球的表面积是，则2=，则=5√22，2四边形内接于的底面圆，21===，则设，

△在中，由余弦定理可得，=222+−··2=5+(3√5)−2×5×2=70−30√①，在中，由余弦定理可得，△=+−··2222=(3√5)+7−2×3√5×2=94−42√②，由①②可得70−30√=94−42√，即12√=24，255=√1−cos=√，所以=，代入可得=√10，所以正确；√①A525==5√2，则=5√2，2△在中，由正弦定理可得−ℎ(ℎ−)+=设棱锥的高为，则222，522√所以ℎ=，即与重合，12==ℎ+=25，所以==5，则2222△==5=35则中，，√，由余弦定理，=222=，110所以与的夹角的余弦值是，所以正确；110C13=·ℎ·(+)1112=·ℎ·(···+···321=·ℎ·(+)··6152√55√=××(5+7)×3√5×62=15√2，所以正确；D对于选项，假设平面，B⊂∩=又有平面，平面平面，=5==10=7则，而四边形中，，√，，显然不成立，故矛盾，所以平面不成立，所以错误．B故选：．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量∼2)，若≥4)=0.23，则≥0)=．【答案】0.77【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题．根据随机变量服从正态分布∽2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴=2，根据正【解答】解：随机变量服从正态分布∴=2态曲线的特点，即可得到结果．∵对称轴是，∴⩾4)=⩽0)=0.23∽)，2，

∴>0)=1−0.23=0.77．0.77故答案为．14.+++=0相外切，则圆的标准方程可以经过坐标原点的圆与圆22是写出一个满足题意的方程即可.()【答案】(−)+(−)=>0)．222【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系及判断，考查圆的标准方程，属于基础题．=易知圆过坐标原点，圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，心在第一象限，可设圆的圆心坐标为，则可求得圆的半径，再根据圆的标准方根据题意且其圆程，即可求得结果．【解答】(−)+(−)=2，解：设经过坐标原点的圆圆心为，半径为，则圆方程：22(0−)+(0−)=+=圆经过原点，则222，即222，+++=0可化为(+1)+(+1)=2，圆：2222(−1,−1)=2则圆圆心为，半径√，显然圆经过坐标原点，由题意，圆与圆相外切，=则圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线=>0=>0)，所以，可令上，且圆心在第一象限，则圆的圆心为，(−1,−1)=+则点到圆圆心的距离，即=√(+1)+(+1)2=√2+，2则=√，(−)+(−)=22，则圆方程：2(−)+(−)=>0)．故答案为：22215.声音是.其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数由物体振动产生的声波，12=+，则的最小正周期是，的最大值是．【答案】33√4【解析】【分析】本题考查函数的周期性，三角函数知识，利用导数研究单调性，属于中档题．空一：利用三角函数的周期求解即可；空二：利用二倍角公式化简以后再求导，在一个周期内研究函数单调性即可求解．【解答】12的周期为，∴=+1∵=解：空一：的周期为，=的周期为2空二：由函数=+1=+，2得=+cos2−sin=2cos+−1=+−1)，2212=0==−1，，解得或令132∈(0,)时，<<1，此时>0，单调递内，当在函数的一个周期

;增当∈(,)时，−1≤<12，此时，单调递减<0;331,时，<<1，此时>0，单调递增，当∈(32所以当或时，取到最大值，==331333√+×√=√．2224则=)=max316.−=6=8已知三棱锥的顶点均在球上，且，，若三棱锥体积的−56最大值是，则球的体积是．【答案】5003【解析】【分析】本题考查了球的切接问题，棱锥的体积，球的体积，考查空间想象能力，属于较难题．取中点为，为，连接−9为半径的球上可知点在以为球心，2，，，，△面积的最大值，以运动，得到设球的半径为，固定平面及点到，平面的距离的最大值，【解答】解：如图：结合棱锥体积公式，可求得，再利用球的体积公式求解即可．取中点为，中点为，连接设球的半径为，，，，，则=设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，ℎ≤=32−9，=−16，2ℎℎ可知，−9为半径的球上运动，固定平面，可知点在以为球心，2则点到直线的距离的最大值为+，1则)=××(+)，211132()=×2ℎmax×()max=×6××8×2−9+−16)=56，2则max3−9+−16=7，解得=5，则2250033则球的体积为=3=．500故答案为．3四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(12.0)本小题分(一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够)良好两类的关系，在已病的人群中随机调查了人称为对照组，得到100()如下数据：患该疾病的病中例随机调查了100()例称为病例组，同时在未

卫生习惯不够良好良好病例组4060对照组1090(1)99%?能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异(2)为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取.人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民90%?的概率超过，则至少抽取多少人2附2=，2≥0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)解：因为22=24，200(40×90−60×10)50×150×100×1002==又因为2≥6.635)=0.01，24>6.635，99%所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．25(2)根据表中数据可估计，病例组中卫生习惯不够良好的居民的概率是，3卫生习惯良好的居民的概率是．5记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，35则=1−=1−(，)35≥53因为1−()>90%，所以()<10%，5所以，所以至少抽取人．5(1)99%;答：有的把握(2)5至少抽取人．【解析】本题考查独立性检验与概率的应用，属于中档题．(1)完善列联表，求出2与临界值表进行对比即可；(2)记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，则=1−=3531−()1−()>90%，计算即可．，因为518.(12.0)本小题分中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足△+=2(1−=√，B.(1)△;判断的形状(2)若点在上且=⊥=，点与点在直线同侧，且，，求．【答案】(1)+=2解：因为√，所以√+4)=√2，+)=1．所以40<<=又因为，所以．4△在中，由正弦定理==得，，(1−==+=+(1−=，所以．又因为所以，

++=又因为，所以+=−=，=sinC.所以===2因为，所以，，44△所以的形状是等腰直角三角形．(2)△因为的形状是等腰直角三角形，=所以不妨设==2√，．因为====，，所以，．△在直角中，==2，2−11==．1+23=1，所以=因为=−=1=sin+cos2，23310√所以=．10【解析】本题考查了正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．(1)由+=2即可判断的形状；==2√，，可得√，可得角，==利用正弦定理及两角和的正弦公式可得，4▵(2)不妨设===，，再利用两角和差的正切公式计算即可．19.(本小题分12.0)12}=1{}已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．1(1)求数列的通项公式;}(2)记数列{2}的前项和为，是否存在实数使得数列{成等差数列，}若存在，求出2;实数的值若不存在，说明理由．【答案】12=，所以．2=111=1+−1)×={}，数列是公差为(1)解：因为的等差数列，1所以22≥2方法一：当时，因为2==−)，2=−所以=+，所以，所以=，11(1+1)21212==，所以，所以=+1)．又因为1=又因为，所以=．2方法二：当时，因为=≥2，，2−2=−所以=2=+=，所以，−所以=1=1=又因为，所以，所以．11因为(2)2=·2，=1×2+2×2+3×2+⋯+×2，所以123=1×2+2×2+3×2+⋯+×2所以234，两式相减得：=2+2+2+⋯+2−×2=2×1−2−×2=(1−123−2，1−2=−1)2+2．所以=因为=，=，，123224488

若数列{，}成等差数列，则2×=+82=−2解得．42−22−=+1)−2)−−2)=2，=−2当时，因为=−2，−2−2所以22所以数列{}成等差数列．2综上可知：存在，使得数列=−2{}成等差数列．2【解析】本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系、错位相减以及等差数列的通项公式，是中档题．(1)由等差数列通项公式得出=}，再由与的关系可得数列的通项公式；2(2)2=}易得，由错位相减得出，先得出{的前三项，由等差数列的性质得出方2程解出，再检验即可．20.⊥==2.现将四边形，，⊥平面．如图，已知四边形为直角梯形，其中沿着旋转至，使得平面(1);证明：，，，四点共面若，点在线段上，且=2，求平面(2)=3与平面所成角的正弦值．【答案】=，=设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−2)，=(1,0,−1)，所以所以，即，，，四点共面．(2)=3解：因为，点在线段上，且=2，=(2,−2,0)．所以⃗⃗⃗=,,)，设平面的法向量为111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，⃗⃗⃗⋅=0，所以−=0−=0，，11因为⃗⃗⃗⋅=1=1=111⃗⃗⃗=(1,1,1)令，则，，所以平面的一个法向量．11设平面的一个法向量1⃗=,,)，222⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，⃗⃗⃗⋅=0，所以−=0，+=0，因为⃗⋅1111=1=−1=1⃗=(1,−1,1)令，则，，所以平面的一个法向量．设平面与平面所成夹角为，1111−1+11||=，3×33=|cos<⃗⃗⃗⃗>|=则，√√22所以=√1−cos=，√23即平面与平面所成角的正弦值为．22√3【解析】本题考查利用空间向量证明四点共面问题及面面的夹角，属于中档题．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1)⊥由条件可得平面，以为坐标原点，以,,}为基底建立空间直角坐标系，利用空间向量知识即可证明，，，四点共面；(2)⃗⃗⃗=,,)，设平面的一个法向量⃗=,,)，求出向设平面的法向量为111222⃗⃗⃗⃗量、，计算即可求得平面与平面所成角的正弦值．21.(12.0)本小题分22+=>>0)的左顶点为，上顶点为，右在平面直角坐标系中，已知椭圆22焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆．833√=165线与直线的斜率之比是，求与的面(1)若,−)，，求椭圆的方程;55(2)−2△△若直积之比．【答案】833553316,−√)，=5，(1)解：因为，168所以()2=()2+−2，所以=√3．√)55833582332()(−√)因为,−√)，所以+=1，52555282332()(−√)=2，解得，所以+=1552322所以椭圆的方程为+=1．43，(2)因为直线+=1+=1,由解得．2=22{{22+=1,3=2222