弹性力学课件一六

第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—6圆环或圆筒受均布压力(P64)qa

qb

abHollowCylinderSubjectedtoUniformPressures例1.

图示圆环或圆筒，内半径为a，外半径为b，受均布内压qa和均布外压qb作用Ahollowcylinderwithinnerradiusaandouterradiusbissubjectedtointernalpressureqaandexternalpressureqb.由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式Evidentlythestressdistributionmustbeaxisymmetrical.利用边界条件求待定常数A、B、C恒满足边界条件：qa

qb

考察环向位移(forcircumferentialdisplacement)：是多值项，对于同一r，当不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的(P65)由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件NowthetwoequationsarenotsufficienttodeterminethethreeconstantsA,B,Candwehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacement.In京t躺he桐h恩ol生lo坏w诉cy弃li养nd夏er则,升th帮is悟i祸s盆ph破ys踩ic翁al仇ly旧i歼mp寺os砍si巷bl独e.根据依位移筑单值持条件稿，可必知：B=条0上伟述毛边惩界揭条折件裳变翻为饲：最后撑求得塔：讨论瞒只有顾内压府或只尽有外某压单靠独作渐用的海情况a、只偿有锈内温压寇力册的驱作联用挡：qb=藏0I挥fqb=0泳(碗on腿ly多i哲nt拿er竹na鞭l碰pr事es穷su拉reqa=0拾a瓶ct险s)挺,结备论毛：塌r总为副压应盛力，咽为肾拉涨应红力应力分布如图所示：rqa当圆环或圆筒的外半径b时，它就成为具有圆孔的无限大薄板，或具有孔道的无限大弹性体，应力分量为ris份a培lw坊ay蝇s敌co康mp会re院ss爹io咽n貌an粒dis臣a肝lw看ay衫s修te衬ns津io依n.W滚h侍e东n字t胜h斥e撞o潜u世t蜜e丢r栗r束a顽d星i宅u还s换b悬i果s汁m寇u洗c院h驶l仓a滋r挂g轿e键t盐h勒a其n封t轿h公e砌i忙n乐n雄e仪r恐r敢a叫d箱i钉u亩s引a摆,么t续h壁e睡c锅y跪l则i溉n闻d随e歪r乱b狠e货c汗o侄m砌e低s喷a薄l驾a悉r勾g咱e蔽b近o类d壤y巷w唇i交t喜h落a真s桐m巩a哥l傅l姿c绘i垫r抚c漏u艰l恋a津r耽h买o捆l崇e信o蹦f咽r叨a始d沃i崖u俊s踩a语.应力救与a2/r2成添正苦比耕，翻当r凉a时刑，绪应体力毒分尸量音很牌小械，拿这抱也原证牲实尚了植圣瘦维滥南从原择理A石t钥t桃h野e球e灭d谁g克e摆o浓f或t更h狸e阔h河o尺l病e毕(陵r纺=纱a崖)犁,r=-qaa狐n倡d=-qa.At买a锤l响ar危ge托d端is凶ta垫nc辰e节fr翠om鲜t企he况h趁ol知e,抵t借he峡s项tr苦es透se当s俊ar夜e晃ne军gl铁ig杂ib盏ly守s胃ma耐ll恳.b、只有外压力的作用：qa=0Ifqa=0(onlyexternalpressureqb=0acts),Bo叹th疤ran征da依r盟e教a润l威w体a披y垮s校c没o呈m积p引r弦e拼s致s典i狼o妖n使.应力分布如图所示：rqbTh吓e形di窃st泻ri策bu泳ti沉on政o腔f淡th枯e吊no斤rm雹al词s昨tr叛es洪se挨s寄is肝a麻pp刘ro梨xi挡ma析te畅ly笼s泽ho巴wn欧i诵n机th储e陕fi央gu肠re鸡b岔el丙ow采,4赵—卧9硬圆也孔智的距孔肠边切、架应爽力揪集肆中一、价应力绿集中(s疯t偶r举e识s午s墨c张o超n榆c匆e烛n井t蜂r宪a忘t演i抹o恐n各)：具郊有森小叶孔漫的举弹助性学体竟，吉受弓力阶时戴孔跳边申的劳应象力解远义大昏于供无怎孔洗时究的纷应理力废或映距泳孔借边垒稍尘远跌处俗的揭应争力个，布这略种猜现纷象洪称肯为亲应母力异集慕中殿现渐象二纪、登应忍力朵集牌中骗的担原海因便：不是馒由于押截面杯减小著而使微应力劣增大垂，而德是由延于孔尼的存抽在，蹲孔附要近的妇应力烟状态震与应遮变状待态完掠全改揪变了Ef棒fe绳ct贝o脂f师ci卸rc娇ul很ar源h米ol粉es御o刷n顺st小re枣ss砌d代is容tr等ib现ut悲io薯n三、糟应力雅集中捧的特站点：（1抱）局具部现懒象：咳离孔洒越远讽，应骗力集出中现么象消进失越糊快（付2箩）辨应傻力老集蛇中福程栏度鸭与童孔浇的巷形虫状暮有乒关圆，激圆慎孔锤较苹小发；子尖眉角浙孔习应店力牛集贡中宝程昏度签高（3照）同狗样形点状的贫孔，歇应力也集中招的倍虑数与仿孔的恭大小口无关四、颤圆孔垮的孔殃边应熊力集谈中问音题圆孔芳的孔捏边应筛力可资以用峰较简脚单的西数学域工具克描述xyaqqqq例2宰.图趋示碎矩浙形附薄扑板赏离旅边荒界装较勺远韵处蚂有披半涨径魄为a的鞋小复圆锹孔父，啊板欠四驴边视承痒受齿均共布级拉河力q坐标流轴如医图所毫示，库因为墨我们陪要研崇究孔荐边应纯力，增所以按采用茶极坐压标a福、矩颠形牵薄据板轻四赶边置受桃拉E捉f馋f口e垦c催t茂o共f放c相i蛋r利c允u恨l摧a颜r携h荒o拾l朱e招s彼o环n商s钞t街r陪e纹s辅s吧d孕i受s动t禁r你i纠b疲u艳t茄i梳o摧nxyaqqqq将直边变换成圆边，用长度ba为半径作一大圆，取此带孔的圆环为隔离体b由摇于昼应从力罢集咬中解的拉局奥部绳性惊，听在垂大宝圆孟周既处服，煮应竿力案情形况定与六无骂孔询时尝相杨同将直边的边界条件：变换成圆环边边界条件左右边：上下边：原盒来里的站问亭题拨就吵转捉换炭成揭这师样估一杠个拣新槽问鲁题钳：射内素半莫径袜为a衬，外娇半桥径雀为b的隶圆蚁环幅，弃在片外辣边剥界申受储拉虎应思力各r的俗作第用庙，合如夫图q其解椅答可每用前究面讨雕论过劈燕的圆赖环受削均布牢压力限时的吨解答迫（拉猴密解份），劈燕即：因为ba，所以应力分量表达式变为xyaqqqq例望3孤.际图陡示苦带卸小爬孔驰矩展形茄薄森板蹈左裤右走两碰边眯承定受割均坐布妈拉断力q，上丢下裤两皆边续承敞受冬均装布么压汗力b、矩讨形砌薄闹板播左竹右泥两幸边梳受血均碗布谦拉执，睡上模下匪两料受珠均谨布碰压处理方法同上，用圆边（半径ba）带替直边，取图示圆环为隔离体变换成圆环边边界条件将直边的边界条件：左右边：上下边：原猜来户的捧问放题判就迷转柱换堪成质这颤样炭一途个叼新补问迁题锹：尿内分半订径就为a，外箱半氏径杰为b的圆眼环，恰在外嫁边界升受拉湿应力焰r=赤q返c递o芬s肿2丛和西剪突应说力莲r=旁-胁q铅s挪i怜n筒2更的作堤用孔边可的边候界条绕件为亚：用半算逆解叫法：因为所丽以封，暑可中假争设柳应壳力饮函捧数内：将其僵代入吵相容甘方程辰：解此微分方程得：应力分量：A骗、抗B似、敏C暑、孤D为笛待逼定丢常柳数甚，性由奖边胖界肠条猫件拳确之定将应力分量代入以下边界条件：由此倡求得A烦、技B类、菠C途、手D当A、B、C、D为：最后茄求得扶应力橡分量漠为：c、矩形教薄板匠左右膜两边约受不菊相等班的均壁布拉即力xyaq1q1q2q2xya（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2xya（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2将两间部分门解答塞叠加温，即宇得q1、良q2作用面下的革应力贱分量例4、带圆孔的矩形薄板，受均布拉力，求应力分量xyaqqxyaq/2q/2q/2q/2xyaq/2q/2q/2q/2+其应牙力分腊量为石：讨载论联：1、孔边应力：r=a，r=0，r=0xyaqq030456090-q0q2q3q2镇、元沿y轴应明力：维=尽9勒0或娱=胁-豪9贴0xyaqq

r

a2a3a4a3q1.22q1.07q1.04q求得：

3鸟、胁沿x轴应冷力：=杠0xyaqq求得：

-0.1924qa0-q合力a

a

r应力分布图如下：xyaqq3q3qqq-q归治纳