福建省宁德市寿山中学高一数学文联考试卷含解析

福建省宁德市寿山中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，6） B．（2，6] C．（1，6） D．（1，6]参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得，解方程组求得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得2≤a＜6，故选A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，注意a≥6﹣a﹣a，这是解题的易错点，属于中档题．2.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B． （﹣2，1） C． （﹣1，2） D． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）参考答案：B考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围解答： ∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选B点评： 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题3.的值等于（）A．

B．－

C．

D．－参考答案：C4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有（

）A．4个

B．7个C．8个

D．9个参考答案：D5.非空，其中集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则满足条件的集合A.B共有（

）组A．4

B.

5

C．

6

D．7参考答案：B略6.sin27°cos18°+cos27°sin18°的值为（）A． B． C． D．1参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin27°cos18°+cos27°sin18°=sin（27°+18°）=sin45°=．故选：A．7.已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=?，则的值域为（）A． B．{1} C． D．参考答案：B【考点】函数的值域；交集及其运算．【分析】对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．【解答】解：当x∈CR（A∪B）时，fA∪B（x）=0，fA（x）=0，fB（x）=0，∴F（x）=1同理得：当x∈B时，F（x）=1；当x∈A时，F（x）=1故F（x）=，即值域为{1}．故选B8.已知，，，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.在中，分别为角的对边，若，则的形状（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形参考答案：B略10.若在直角坐标平面内两点满足条件：①点都在函数的图象上；②点关于原点对称，则称为函数的一个“黄金点对”．那么函数的“黄金点对”的个数是（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A(2,3),B(6,-3),点P是线段AB靠近A的三等分点，P点的坐标为

参考答案：（10/3，1）略12.已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=6，则数列{an}的通项公式为

．参考答案：an=2n﹣1+5n【考点】数列递推式．【分析】由an+1=2an+3×5n，变形为an+1﹣5n+1=2（an﹣5n），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2an+3×5n，变形为an+1﹣5n+1=2（an﹣5n），∴数列{an﹣5n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴an﹣5n=2n﹣1．即an=5n+2n﹣1．故答案为：an=5n+2n﹣1．13.直线l：恒过定点

，点到直线l的距离的最大值为

．参考答案：(2,3)，直线l：（λ∈R）即λ（y﹣3）+x-2=0，令，解得x=2，y=3．∴直线l恒过定点Q（2，3），P（1，1）到该直线的距离最大值=|PQ|==．

14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．参考答案：15.如果角θ的终边经过点（﹣），则cosθ=．参考答案：略16.已知函数函数的定义域是_

_参考答案：17.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．参考答案：50π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣m．（1）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值；（2）若函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由f（x）的最大值为0，即二次函数f（x）有且只有一个值0，可得△=0，从而求出m的取值．（2）由f（x）图象的性质得[﹣1，0]在对称轴x=右侧时f（x）单调递减，从而得出m的取值范围．（3）讨论f（x）的对称轴x=在[2，3]的左侧、右侧以及在[2，3]上时三种情况，从而求出满足条件的m的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+mx﹣m，最大值为0，且二次函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，∴f（x）有且只有一个值0，即△=m2﹣4m=0，∴m的值为0或4．（2）函数f（x）=﹣x2+mx﹣m图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=；要使f（x）在[﹣1，0]上是单调递减的，应满足≤﹣1，∴m≤﹣2；∴m的取值范围是{m|m≤﹣2}．（3）对f（x）的对称轴x=在[2，3]的左侧、右侧以及在[2，3]上时的三种情况进行讨论：①当≤2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上是减函数，若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，则有，即，解得m不存在；②当≥3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上是增函数，则有，即，解得m=6；③当2＜＜3，即4＜m＜6时，f（x）在[2，3]上先增后减，所以f（x）在x=处取最大值；∴f（）==3，解得m=﹣2或6（均不满足条件，舍去）；综上，存在实数m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的单调性与值域问题，讨论对称轴与区间的位置是解决本题的关键．19.已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点；（2）当a＞0时，求函数y=的定义域；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用分类讨论思想证明函数与x轴的交点．（2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域．（3）根据方程有四个交点确定最后解不等式组求的结果．【解答】证明：（1）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．①当a=0时，f（x）=﹣x+1，则与x轴的交点坐标为：（1，0）；②当a＞0时，函数f（x）为开口方向向上的抛物线，则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0；③当a＜0时，函数f（x）为开口方向向下的抛物线，则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0；综上所述：函数f（x）的图象与x轴有交点；解：（2）当a＞0时，①当a=1时，=，所以x∈R；②当0＜a＜1时，=，则x的定义域为：{x|x或x＜1}；③当a＞1时，=，则x的定义域为：{x|x＞1或x}；解：（3）令t=，则：关于x的方程f（|x|）=t有四个不等的实数根．即：a|x|2+（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不等的实数根．即：ax2+（a+1）x+1﹣t=0有两个正根．则：，解得：a＜﹣1．【点评】本题考查的知识要点：函数的分类讨论的应用，函数的定义域，及函数的根的情况．属于中等题型．20.根据两角的和的正弦公式，有：

①

②由①+②得，

③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状.参考答案：证明：（I）由

①

②①-②得，

③令，则代入③得：（Ⅱ）为直角三角形，证明如下：由余弦的二倍公式得，，利用（I）证明的结论可知，，又已知所以，则，即因为，所以，即，所以为直角三角形.21.(本小题满分12分)若非空集合，集合，且，求实数.的取值．参考答案：（1）当时，有，即；（2）当时，有，即；（3）当时，有，即.22.记函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg[（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A