2023届甘肃省通渭县高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（z-i）（-i）=5,则z=（）

A.6/B.~6iC.-6D.6

2.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（

1(£>mn11)nm

A.1B.2C.3D.0

3.下图所示函数图象经过何种变换可以得到＞=sin2x的图象（）

7T7T

A.向左平移亍个单位B.向右平移§个单位

C.向左平移=个单位D.向右平移二个单位

4.如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则

该，，数字塔，，前10层的所有数字之积最接近（1g2*0.3）（）

2

22

242

2882

21664162

A.1。300B.10400C.10500D.10600

5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中,

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）

11

A.多1斤B.少1斤C.多§斤口.少［斤

6.函数y=—-ln（x+l）的图象大致为（）

X

兀n

A.向左平移3个单位B.向左平移6个单位

n兀

C.向右平移3个单位D.向右平移6个单位

8.已知数列｛。｝是公比为q的等比数列，且q,a,a成等差数列，则公比q的值为（）

n132

11।1

A.--B.-2C.-1或］D.1或一2

9.如图所示，在平面直角坐标系X”中，户是椭圆n+r=1（。〉6〉0）的右焦点，直线y=2与椭圆交于B,。两

〃21）22

点，且ZB/V=90。，则该椭圆的离心率是（)

10.已知i为虚数单位，复数z=（l+i）（2+i）,则其共软复薮=（）

A.1+3/B.1—3iC.-l+3iD.-l—3i

11.一只蚂蚁在边长外的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）

12.己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,a,b,且2a+b=g（a>0,b〉0）,

则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

正W®

1721

A.B.丁兀C.4兀D.5兀

44

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.曲线y=x3在点（1,1）处的切线与X轴及直线x=a所围成的三角形面积为则实数。=—。

O

14.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为

28兀，则该三棱柱的侧面积为

3

15.在△M。中，角A尻C的对边分别为。，"c,且c=2,2sinA=sinC.若3为钝角,cos2C=-—则4回。

4

的面积为.

16.若非零向量入万满足（叫q,曰=/,口+5=1，则尸,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）等比数列｛。｝中，a=2,a=4。.

n175

（I）求。｝的通项公式；

n

（II）记s为｛a｝的前〃项和.若s=126,求加.

nnnt

18.（12分）已知函数/（x）=ae*-sinx,其中aeR,e为自然对数的底数.

（1）当a=l时，证明：对Vxe[0,+oo）；

（2）若函数/（x）在（0，?J上存在极值，求实数。的取值范围。

19.（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受.如图（1）为一花窗；图（2）所示是一

扇窗中的一格，呈长方形，长30cm,宽26cm,其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和

六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯

所需条形木料的长度之和为L.

图1图2

（1）试用x,y表示L；

（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形

木料（不计梯卯及其它损耗）？

20.（12分）已知各项均为正数的数列M｝的前〃项和为S,且S1

是a与一的等差中项.

〃a

（1）证明:为等差数列，并求S；

（2）设,数列毋｝的前"项和为T,求满足T25的最小正整数〃的值.

〃3+3nnn

n+1n

21.（12分）如图，己知圆「：X2+（y—］丫=「2（7〉0）和双曲线「：X2—2l=lS>0）,记「与y轴正半轴、X轴

1\22b2>

负半轴的公共点分别为A、B,又记「与、在第一、第四象限的公共点分别为C、

（1）若厂=2,且5恰为r的左焦点，求「的两条渐近线的方程；

22

（2）若r二2,且AC+A力=（%-5）,求实数m的值；

（3）若B恰为「，的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点p,使得1pAi—|Pq=2019.

=J3+r

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为j_4（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半

轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为P=4cos9.

（1）求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设点”（0,3）,直线/与曲线C交于不同的两点4、B,求+的值.

IlVl/\II1V1DI

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由复数的运算法则计算.

【详解】

因为(z-i)(—i)=5,所以z=N+i=6i

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的运算.属于简单题.

2.C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

其中AA6C,A5CZ),A4DC为直角三角形.

该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C.

【点晴】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

3.D

【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为/(x)=sin(2x+g],再根据平移法则得到答案.

【详解】

设函数解析式为/(x)=Asin(cox+(p)+Z?,

TTtTtTt

根据图像：A=l,6=0,=—=故7=兀，即8=2,

43124

/^J=sin^+(pj=l,(?=^+2kn,kGZ,取得到，(x)=sin(2x+£,

函数向右平移各个单位得到N=sin2x.

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

4.A

【解析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比

数列前"项和公式和对数恒等式即可求解

【详解】

如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为

1+2+22+••■+29=210-1=1023,所以原数字塔中前0层所有数字之积为2K>23=10l023lg2«10.TO.

2'

2121

212221

故选：A

【点睛】

本题考查与“杨辉三角，，有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前〃项和公式应用，属于中档题

5.C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列｛。｝，则%+%+%=4,a+a+a^3,由等差数列的性

n1238910

441

质得〃=一,U,—1,CL—CI=——1=—,

、2392933

3C

6.A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算x=l时的函数值可排除三个选项.

【详解】

x>0时，函数为减函数，排除B,-l<x<0时，函数也是减函数，排除D,又％=1时，y=l-ln2>0,排除c,

只有A可满足.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项.

7.D

【解析】

>'=sin(2jr-y)=sin[2(x-少]r=sin/2x-§

试题分析：因为36,所以为得到.3的图象，只需要将ysinA•的图象向右平

n

移6个单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

8.D

【解析】

由a：a2成等差数列得2a3=aja,,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.

【详解】

由题意2a「a|+a,,,zaiq2=a]q+a],2q2=q+l,q=l或q=-]

故选：D.

【点睛】

本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟

练.

9.A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得8和。的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2=2a2,由离心率定义可得结

果.

【详解】

二+竺=iU±Az

由产产’得彳,2'所以8二

hb利‘停》

y=y=—、

r2y2

由题意知尸(c，0),所以5升=c+^-a,-^\

'Cy~~a~2；

因为ZBFC=90°,所以BF1CF，所以

D"/(Y&1从3Q2-C231

BF-CF=c+——ac-——a+一=c2--q2+----------=_。2——42=0

2)[2J44442

所以3c2=242,所以e=£=立.，

a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

10.B

【解析】

先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共甑复数的概念直接写出？即可.

【详解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共轨复数=]—3i.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共轨复数的概念，难度较易.

11.A

【解析】

求出满足条件的正A钻C的面积，再求出满足条件的正A钻。内的点到顶点4、B、C的距离均不小于2的图形的

面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.

【详解】

满足条件的正AABC如下图所示：

其中正A48C的面积为s=®xm=4下,

&ABC4

满足到正AA6C的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示,

阴影部分区域的面积为S=；x兀X22=2兀.

2兀/3TI

则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是尸=1一一产=1一乂/.

4串6

故选：A.

【点睛】

本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

12.B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体A3CD-A/qq的四个顶点，即为三棱锥A—eq］，且

长方体45。一4,£。1的长、宽、高分别为2,。力，

...此三棱锥的外接球即为长方体ABC。-ABCD^的外接球，

且球半径为R=四+…=二+…,

22

（f\2Z\

...三棱锥外接球表面积为4兀…公+*=兀（4+。2+6）=5兀（。-1）+竺，

24

\7

7121

.•.当且仅当。=1,6=彳时・，三棱锥外接球的表面积取得最小值为工兀.

24

故选B.

【点睛】

（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.a=g或1

【解析】

利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与X轴和x=a的交点，由三角形的面积公式可得所

求值.

【详解】

V=用的导数为y'=3x2,

可得切线的斜率为3,切线方程为y-l=3(x-l),

可得y=3x-2,可得切线与x轴的交点为0,0),切线与x=。的交点为(a,3a—2),

1-11

可得与a_•7H3a-2=N，解得a=］或刀。

2311o3

【点睛】

本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。

14.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在AOOd中，利用。/2+?。2=。42即可得到关于》的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，4兀4=28兀，解得R=",如图所示，设底面等边三角形中心为q,

直三棱柱的棱长为x,则04=1丫，Op=；x,故。$2+0,2=04=/?2=7,

%2X2L

即可+彳=7,解得尤=2道，故三棱柱的侧面积为3心=36.

故答案为：36.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

15.生

8

【解析】

转化2sin4=5皿。为。=；,利用二倍角公式可求解得cosC,结合余弦定理°2=或+步-2abcosC可得b,再利用

面积公式可得解.

【详解】

因为c=2,2sinA=sinC,

所以。=2=1.

3

又因为cos2c=—a，且C为锐角，

所以cosC=X^_,sinC=2^.

44

由余弦定理得C2=+核-2abcosC，

即4=l+b2—2bx巫，解得。=芷，

42

C10「1I3"向3"

所以S=—abs\nC=_xlx__z_x2-=_2_

22248

故答案为：千

O

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

16.1

【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出I万12+3151-4=0,解方程即可得出答案.

【详解】

,+々=J（a+万）2=J网2+2a.叼邛=步

27T

.'.|Z>|+2x>/3xcos-x|/j|+3=7,Ep|5h+3⑸一4=0

解得151=1或1方1=一4(舍)

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)a=2“或a=-(-2>(11)12

nn

【解析】

(1)先设数列M｝的公比为夕，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；

n

(2)根据(1)的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

(1)设数列M｝的公比为生

n

a”

.♦.0=—=4,

a

5

・•.夕=±2,

..・a=2〃或〃=一(一2)〃.

nn

c2(L-2«)z

(2)4=2时，s=_________=2”—2=126，解得〃=6；

〃1-2

c2(i-(-2)«)2rr

q=-2时，s=------------=_|1—(—2)«|=126>

“1+23LJ

〃无正整数解；

综上所述〃=6.

【点睛】

本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.

18.(1)见证明；(2)。€(0,1)

【解析】

（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；

（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从

而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在

极值.

【详解】

（1）当a=l时，/（x）=ex-sinx,于是，（x）=e*-cosx.

又因为，当xe（0,yo）时，＞1KCOSX＜1.

故当xe（0,4＜o）时，ex-cosx＞0,即/'（x）＞0.

所以，函数/G）=e，-sinx为（0,+co）上的增函数，于是，/G）＞/（0）=l.

因此,对Vxe[（）,M）,f（x）21；

（2）方法一：由题意/G）在（0，1）上存在极值，则_f（x）=aex-cosx在（0弓上存在零点，

①当ae（0,1）时，/，（x）=ae、-cosx为上的增函数，

注意到了'（。）=。-1＜。，=

所以，存在唯一实数升｛0,；）,使得rG°）=o成立.

于是，当xe（0,x°）时，r（x）＜0,/（X）为（o,%）上的减函数；

当xwQo,j时，/'（x）＞0,/（x）为上上的增函数；

所以七e[°弓）为函数了G）的极小值点；

②当a21时，/'（x）=ae^-cosx＞ex-cosx＞0在上成立，

所以.f（x）在（0,£）上单调递增,所以F（X）在（o,上没有极值；

③当时，r(71

440f\x)=aex一COSX<0在工0,爹上成立，

所以.f（X）在上单调递减，所以/（X）在（0,1）上没有极值，

综上所述，使/G）在上存在极值的〃的取值范围是（°』）.

方法二：由题意，函数/G）在（0弓］上存在极值，则."x）=aex—cosx在（0弓）上存在零点.

即"=在（o,上存在零点.

设g（x）=f^,则由单调性的性质可得gG）为上的减函数.

即g（x）的值域为（°，1）,所以，当实数ae（°，l）时，/'（x）=m'-cosx在（0弓］上存在零点.

下面证明，当ae（0,l）时，函数人）在（0弓）上存在极值.

事实上，当"e（0,l）时，/'（x）=aeLCOSx为（0,；）上的增函数，

注意到广（0）=aT＜0,=所以，存在唯一实数七e（0弓小

使得了'（%）=。成立.于是，当xe（0,%）时，/'（x）＜0,/G）为（（）,%）上的减函数；

当xeko，gj时，r（x）＞0,/G）为（X。，；上的增函数；

即为函数/G）的极小值点.

综上所述，当ae（0』）时，函数/G）在上存在极值.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一

道综合题.

19.（1）L=82+4^x2+y2-2（x+y）（2）16+47569

【解析】

试题分析：(1)由条件可先求水平方向每根支条长15-x,竖直方向每根支条长为13-1，因此所需木料的长度之和

/15-x2,

L=2(15—x)+4(134)+8x^1^21=82+4Jx2+>2-2(尤+丁)(2)先确定范围由｛心一上>?可得等〈定胎,

再由面积为130cm2,得［孙=13,转化为一元函数£=82+4«%2+(吧)2-2"+理)，令f=工+也，则

2\Xxx

「-520372

G82+2［后就+六折】在M3中上为增函数，解得L有最小值味4师.

30-2%~

试题解析：(1)由题意，水平方向每根支条长为加=——=15-xcm,竖直方向每根支条长为

〃=，2=13-^cm,菱形的边长为Jg)2+(/2=立产51.从而，所需木料的长度之和

L-x)4(13-2)8x£pi

=2(15++=82+4^x2+y2-2(x+y)cm.

15-x>2,__________

(2)由题意，-xy=l3,即丫=变又由(ay可得当403.所以乙=82+4、。21(1?5^_2。+色Q).

2x13—22,11丫xx

260.ZOU八13U,…?60130

令,=x+竺，其导函数1-——<0在-n-4x43上恒成立，故r=x+”在[史,13]上单调递减，所以可得

XX211X11

tG[33,—\.则L=82+2[2t限+吧)2—520~(x+吧)]

11yxx

-520

=82+2[正一520+y]12-520-r]=82+2M2-520+

Jf2-520+/

._______-520372

因为函数y=JE和1户诉在'c印'IT】上均为增函数,所以

I—520372

八32［"中+/中7］在，33,『上为增函数，故当"33,即x—2°时L有最小值

l6+4x/569.答：做这样一个窗芯至少需要16+4^/^而cm长的条形木料.

考点：函数应用题

20.(1)见解析，S="(2)最小正整数〃的值为35.

n

【解析】

⑴由等差中项可知2s当心2时，得2S.=S“-Si+金]，整理后可得呼弋:1,从而证

n〃n-1

明L｝为等差数列，继而可求s.

nn

1

=yJn+1-Jn,则可求出T="TT-1,令"TT-1N5,即可求出〃的取值范围，进而

n

求出最小值.

【详解】

解析.•⑴由题意可得2s当”=1时，2S「q+5

。2=1,0=1,

当〃22时，2S「SJS,I+=I,整理可得S「Syl,

nn-1

是首项为1,公差为1的等差数列，S2=S2+(〃-l)=〃,S-yfn.

nn1n

(2)由(1)可得6-r==-产=,

n7n+1+.〃

:.T—«^2—+y^3—y/2+.・・+yfn—yjn—1++1—yfn=+1-125,解得〃之35,

n

最小正整数n的值为35.

【点睛】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了。与S的关系，考查了裂项相消求和.当已知有。与S的

nnnH

a,n=\

递推关系时，常代入。=J进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常

«3—3c

nn-1

数.

21.(1)y=±"x；(2)加=,1()+2G+、11()-2卢:口)见解析.

2

【解析】

(1)由圆的方程求出8点坐标，得双曲线的c,再计算出匕后可得渐近线方程；

(2)设。(彳”,叱％),由圆方程与双曲线方程联立,消去x后整理，可得乙+3，

PC+P0=(x+x,y+y-6),由/+A/j=(祖,一5)先求出匕，回代后求得坐标，计算机=x+x；

121212

(3)由已知得从=[r2-1,设C(x,y),£>(xy),由圆方程与双曲线方程联立，消去x后整理，可解得y=—,

4i122[r

y,=—称，求出e=5+1=^+1,从而可得|4C|=2,由『4一『。|447|=2,可知满足要求的p点不存

在.

【详解】

(1)由题意圆方程为心+(y—1”=4,令y=0得x=±6，8(—JT,O),即c=/，.•.b=而=7=尸1=，

。=1,...渐近线方程为y=±JIx.

(2)由(1)圆方程为x2+(y-l”=4,A(0,3),

%2+(y—1)2=4

设C(x「\),O(x,,y,),由，):2得,(。2+l)y2-2b2y-2b2=0(*),

X2--=l

b2

2b22b2

~b2+lZ?2+1

AC+AD=(x,y-3)+(%,y-3)=(x+x,y+y-6)=(肛一5),

11221212

26

所以y+y-6=-5,即^__6=_5,解得6=1,

12匕2+1

方程(*)为2y2-2、-2=0,即＞2-了-1=0,、=再叵，代入双曲线方程得m=l+w=W£芷，•.•C,。在

2