论文-浅谈导数的应用

PAGEPAGE1浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分ShallowlyDiscussestheApplicationofDerivativeAbstract:Tostudyextremelyproblems,FrenchmathematicianFermatbroughtinderivativeidea.Derivativeisthebasisforustolearnmathandothernaturalsciencefurther,anindispensabletoolinresearchofmodernscienceandtechnology.Weshouldunderstandtheconceptandacquirethecapacityofsolvingproblemswithmathematicalideasandcreatederivativemodelaccordingtothemathematicalfeatureofthegivenproblem.Onaverage,weusespecificderivativeinaccordancewithdefinitetraitofthevariousproblems.Thederivativeideaplaysanimportantpartinmiddleschoolmath,advancedmathandourdailylife.Inthischapter,theconceptandessenceofderivativeareintroducedtodeepenpeople'sunderstandinginmathandhelptosimplifypeople'sderivative.Keywords:Limit;Derivative;Differential2.1导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1已知数列；，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设，同时取对数后求导可得，令，得；当时，；当时，，且有唯一解；当时，最大；故或时，最大；．2.11利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题．情况一：设为可导函数，求过点作：的切线方程．(1)若，；即．则，过的切线方程为．(2)若，即．可设切点，则过的切线方程为，此切线过．于是可由解出．因而过的切线方程为或．情况二：设，为可导函数，曲线：与曲线：相切，求切线方程．解：由于两曲线，相切，必须假设公切点满足，，即(1)(2)又因为两曲线在公切点处切线的斜率相等，即(3)解(1)(2)(3)式，可得公切点坐标，从而求得公切线方程．2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设是可导的偶函数，有且即；所以；即有的导数为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期．证明：设为可导的周期函数，其周期为，根据周期定义有：，于是有．例2设函数，图像上一条对称轴是直线，(1)：求;(2)：求函数的单调区间;(3)：证明直线与函数的图像不相切．解(1)因为，又因为图像的一条对称轴是直线；知，则有．所以；=1，2…，又，所以．(2)由前问而考虑到端点值有，即函数的斜率的取值范围为，而直线的斜率为，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2导数在高等数学中的应用2.21利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3求极限解因为而利用洛必达法则利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是或型．如果不是，要将其转化为或型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果不存在，不能判定也不存在．2.22利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如）改为，并把左端的函数记为，利用函数的单调性证明或．若要证明的不等式是，一般是构造函数，利用的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4求极限解先求函数极限，取对数后的极限式为所以有归结原则可得=2.23函数极值及相关问题例5设在上二阶可导且，;证明存在，使得．证明有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成,那么就存在,使得,同理存在使得,则，故在内取得最大值．2.3导数在经济学中的应用2.31常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量与该商品的价格密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格的函数．即需求函数．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量与该商品价格有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量也可以看作是价格P的函数．也就是供应函数．例6厂商的总收益函数和总成本函数分别为和，政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解(1)纳税前的利润函数为，当时，利润最大；且;此时价格．(2)．纳税后的总成本函数为;税后利润函数为;获得最大利润的条件是，由得;经过纳税后的最大利润的产量为;于是征税的收益函数为，求最大值即可．当（此时）征税的收益最大，其值为．(3)纳税后利润函数．当，时，最大利润此时产品的价格为．例7新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻的关系为，再假设每一产品在单位时间内平均吸引位顾客，则满足微分方程(4)设初始条件为(5)则易得到上述微分方程的解为(6)这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，时，显然，这是由(6)式得的，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故与成正比，比例系数为，则满足(7)再加上初始条件(8)利用分离变量方法易求得上述微分方程的解(9)当时，若，则易从(9)式中得到，另外在(9)中令，易得到，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得，即是关于时刻的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：．故令得到；当时，由，，得．即函数单调增加．同理，当时单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降．2.32广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设为时刻商品的销售速度．表示销售速度的上限；为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．为时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：(10)其中为响应系数，即对的影响力，为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：其中为常数在时间内，设用于广告的花费为，则，代入(10)式有令;则有(11)解(11)式得(12)给定初始值，则(12)式成为(13)当时，由的表达式，则(10)式变为(14)其解为(15)为保证销售速度不间断，我们在(13)式中取而得到，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为(16)这样，联合(13)式与(16)式，我们得到假设2:竞争销售的广告我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为，.(3)设是销售量，.是可获得的市场．分析：根据题意显然有：．由假设(2)有(17)(18)将上述二式相除，易得(19)其中为常数，对（19）式积分得(20)为积分常数，假设市场容量为常量.则(21)再将(19)式代入(17)式得(22)其中；；解方程(22)易得代入(20)式，得(23)其中及(=1，2，3)均为常数．结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的