苏教版高中数学必修1第5课《函数的奇偶性》拔尖讲义

《函数的奇偶性》拔尖讲义知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数是偶函数的图象关于轴对称；2.函数是奇函数的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否为恒等式．定义的等价形式：，．2.图象法3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；2.函数是偶函数的图象关于轴对称；3.函数是奇函数的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数的定义域包含0，则．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数是奇函数；2.反比例函数是奇函数；3.函数是非奇非偶函数；4.函数是偶函数；5.常函数是偶函数；6.对勾函数是奇函数；经典例题一．填空题（共4小题）1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有f（x），g（x）的解析式分别为f(x)=ex【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）又∵f（x）﹣g（x）=ex，…①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，∴﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，…②由①②得f(x)=故答案为：f(x)=2．已知函数f（x）=ex（1）则a=1（2）函数g（x）=f（x）﹣2x的值域为（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=ex+aex-1，则有f（﹣x）若函数f（x）为奇函数，则有1+a⋅ex1-e分析可得，a=1，（2）由（1）可得，a=1，则f（x）=ex则g（x）=f（x）﹣2x=ex+1ex-1﹣2其中x≠0，则g（﹣x）=e-x+1e-x-1+2x=1+ex1-ex+2x=﹣（ex当x＞0时，函数为增函数，当x→+∞时，g（x）→1，即当x＞0时，0＜g（x）＜1，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，﹣1＜g（x）＜0，综上函数的值域为（﹣1，0）∪（0，1），故答案为：1，（﹣1，0）∪（0，1），3．若x∈[2，+∞），不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（1-112【解答】解：∵x∈[2，+∞），∴不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0可化为m2令f（x）=x+1x，则∵x≥2，∴f'(x)=1-1x2∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）在[2，+∞）的最小值为f（2）=52∴不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0恒成立等价于m2解得1-11故答案为：(1-4．若不等式2x2﹣（x﹣a）|x﹣a|﹣2≥0对于任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是3【解答】解：令x﹣a=t，不等式2x2﹣（x﹣a）|x﹣a|﹣2≥0对于任意x∈R恒成立，即为2（t+a）2﹣2≥t|t|对一切实数t恒成立，当t=0，可得a2≥1；当t＞0时，2（t+a）2﹣2≥t|t|即为t2+4at+2a2﹣2≥0恒成立，可得若对称轴t=﹣2a≤0，即a≥0，且2a2﹣2≥0，解得a≥1；若t=﹣2a＞0，即a＜0，且﹣2a2﹣2＜0，不符题意；当t＜0时，2（t+a）2﹣2≥t|t|即为3t2+4at+2a2﹣2≥0恒成立，可得若对称轴t=﹣23a≤0，即a≥0，且12(2a2-2)-16a212若t=﹣23a＞0，即a＜0，且2a2﹣2≥0，可得a≤﹣1综上可得，原不等式恒成立时，a≥3，可得a的最小值为3，故答案为：3．二．解答题（共13小题）5．已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1（1）若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为？（2）若f（x）为R上的偶函数，则函数在R上的解析式为？【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0；∵当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，∴f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x+1，∴函数在R上的解析式f（x）=&-x（2）设x＞0，则﹣x＜0；∵当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，∴f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，∴f（x）为R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，且f（0）=f（﹣0）=﹣1，∴函数在R上的解析式f（x）=&x6．已知函数f（x）=x2﹣|x|+1．（1）求不等式f（x）≥2x的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x2+a|在[0，+∞）上恒成立【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，解得：0≤x≤3-52或x≥x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0，综上，x∈（﹣∞，3-52]∪[3+5（2）f（x）≥|x2+a|，x∈[0，+∞故x2﹣x+1≥|x2+a|故&a≥-x解得：﹣1516≤a≤77．已知函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x﹣1）＜4．【解答】（1）证明：因为对定义域内的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），所以，令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；令m=n=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），即0=2f（﹣1），所以f（﹣1）=0．对定义域内的任意m，取n=﹣1，有f（﹣m）=f（m）+f（﹣1），即f（﹣m）=f（m），所以f（x）是偶函数．（2）证明：设0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（x1•x2x1）﹣f（x1）=f（x1）+f（x2x1）﹣f（x因为当x＞1时f（x）＞0，且x2x1＞1，所以f（x2即f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解：由f（2）=2，得4=f（2）+f（2）=f（2•2）=f（4），由（1），（2）得，f（2x﹣1）＜4⇔f（|2x﹣1|）＜f（4）⇔0＜|2x﹣1|＜4，解得﹣32＜x＜52，且x所以不等式的解集为：{x|﹣32＜x＜52，且x≠8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log2x）．（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明：设0＜x1＜x2，则x2x1∵x＞1时，f（x）＞0，∴f（x2x1）∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1•x2x1）=f（x1）+f（x2x1）﹣f（x1）=f∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（证毕）．f（x）还具有下列性质：f（x）的图象经过（1，0）；当0＜x＜1时，y＜0．9．（A）6﹣﹣18班已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）设条件P：当-12≤x≤4时，不等式f（x）＜5x+1+t恒成立；Q：设奇函数g（x）在[﹣1，1]上是增函数，且g（﹣1）=﹣1，当a∈[﹣1，1]时，g（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，如果满足P成立的实数t的集合记为A，满足Q成立的实数t的集合记为B，求A∩∁RB．【解答】解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1），∴f（0）=﹣2…..（2分）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1），又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2…..（4分）（2）不等式f（x）＜5x+1+t即x2+x﹣2＜5x+1+t即t＞x2﹣4x﹣3当-12≤x≤4又t＞x2﹣4x﹣3恒成立故A={t|t＞-34依题意当|f（a）|=|f（b）|时，t2﹣2at≥0恒成立，可得t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）…（10分）∴B=（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞），∴CRB=（﹣2，0）∪（0，2）…（11分）∴A∩CRB=(-34，0)∪(010．设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(13)=1，且当x＞0时，f（x）（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．【解答】解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0（2）令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＞0∴f（x1）＜f（x2）故f（x）是R上的增函数∵f(13)=1∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)＜又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得2x+2解之得x＜-211．函数f（x）满足f（x+2）=﹣1f(x)，求证：f（x【解答】证明：∵f（x+4）=f（（x+2）+2）=﹣1f(x+2)=f（x∴f（x）是周期函数，且4是它的一个周期．12．（2018春•大武口区校级期中）已知f（x）=ax+b1+x2（a，b为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（1（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数并求值域；（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．【解答】解：（1）由题意可得：&f(0)=0&f(12)=4∴f（x）=2x1+（2）证明：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，f(x∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0；∵﹣1＜x1，x2＜1，∴1﹣x1x2＞0，(1+x∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．∴f（x）的值域为（﹣1，1）．（3）∵f（2t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），∴&-1＜13．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f(x（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f(x+3)-f(1【解答】解：（1）在f（xy）=f（x）﹣f（y）中，f（x）定义在（0，+∞令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0．（2）∵f（6）=1，∴f（x+3）﹣f（13）＜2=f（6）+f（6∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（x+32）＜f（6∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴&解得﹣3＜x＜9．即不等式的解集为（﹣3，9）14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：∵x∈[2，4]，∴﹣x∈[﹣4，﹣2]，∴4﹣x∈[0，2]，∴f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，又f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，即f（x）=x2﹣6x+8，x∈[2，4]．（3）解：∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=﹣1又f（x）是周期为4的周期函数，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2012）+f（2013）+f（2014）+f（2015）=0，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=f（2016）=f（0）=0．15．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣f（x+2），且当x∈[0，2]时f（x）=x（x﹣2），（1）求f（﹣1），f（2.5）的值（2）写出f（x）在[﹣2，2]上的解析式（3）当x∈[﹣2，0]时，求不等式f（x）＞34【解答】解：（1）∵f（x）=﹣f（x+2），∴f（﹣1）=﹣f（1）=1．f（2.5）=﹣f（0.5）=34（2）当x∈[﹣2，0]时，x+2∈[0，2]，∴f（x）=﹣f（x+2）=﹣（x+2）（x+2﹣2）=﹣x（x+2）．∴f（x）=&x(x-2)，（3）当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x（x+2）=﹣x2﹣2x，由f（x）＞34得﹣x2﹣2x＞3解得：﹣32＜x＜﹣1∴当x∈[﹣2，0]时，求不等式f（x）＞34的解集为（﹣32，﹣16．已知定义域为R的函数f（x）=-2（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，∴f（0）=0，即-1+b2+a=0解得：b=1，f（﹣1）=﹣f（1），即-2-1+11+a解得：a=2证明：（2）由（1）得：f（x）=-2设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=-2x1+12∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x1+1+2＞0，2x2+1即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数；（3）由（2）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜﹣13所以k的取值范围是k＜﹣1317．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有f(1（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）={f(x)f(x)≥g(x)g(x)f