黑龙江省伊春市宜春袁州第四中学2022年高三数学文月考试题含解析

黑龙江省伊春市宜春袁州第四中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

函数的定义域为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.函数的最小正周期是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略3.已知函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x0，y0）满足y0=loga（x0+4），则实数a的取值范围是(

)A．（0，）∪（1，3） B．（0，1）∪（1，3） C．（，1）∪（1，3] D．（0，1）∪[3，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，∴f′（x）=x2+mx+=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=+m+1＜0，即n+3m+2＜0，∴﹣m＜n＜﹣3m﹣2，为平面区域D，∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（﹣1，1）∴要使函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜loga（﹣1+4）∴loga3＞1，解得1＜a＜3或0＜a＜1，故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．4.若函数=

A．0

B．1

C．2

D．参考答案：C，所以．5.已知、是空间不同的平面，a、b是空间不同的直线，下列命题错误的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：6.已知全集=，集合，，则等于 (A) (B)

(C) (D)参考答案：A，所以，选A.7.函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C．a＜﹣1 D．a≥1参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在﹣1，1]上是减函数，∴fmax（k）=f（﹣1）=．∴a．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．8.函数的部分图象大致是

（

）参考答案：C略9.已知，且，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知双曲线的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（

）A．

B．1

C．2

D．3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.极坐标系下，方程与方程表示的曲线的公共点个数为__________．参考答案：∵，，，∴直线方程为．又∵，，∴曲线方程为圆：．圆中心到直线的距离，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．12.在椭圆上有两个动点M、N，K（2,0）为定点，若,则的最小值为_____．参考答案：13.给出下列等式：；

；，……由以上等式推出一个一般结论：对于=

。参考答案：14.设，则的值为

.参考答案：15.记数列的前n项和为，且，则_______.参考答案：416.给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②a、b、c是空间中的三条直线，a//b的充要条件是；③命题“在△ABC中，若”的逆命题为假命题；④对任意实数.其中的真命题是

▲

.（写出所有真命题的编号）参考答案：17.若，则

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知，．（I）求证：平面．（II）在线段上是否存在一点，使得平面，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．（III）设点在内（含边界），且，求所有满足条件的点构成的图形，并求的最小值．参考答案：见解析（I）证明：∵底面，∴底面，又平面，∴，∵为菱形，∴，而，∴平面．（II）存在点，当是中点，即时，平面．证明：连接，交于点，连接，则是中点，∵，且，分别是，的中点，∴是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴当点与点重合时，平面，此时，．（III）在内，满足的点构成的图形是线段，包括端点，连接，则，∵，∴要使，只需，从而需，又在中，，又为中点，∴，故点一定在线段上，当时，取最小值．在直角三角形中，，，，所以．19.（本小题14分）已知函数().(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,取得极值，求函数在上的最小值;参考答案：解：(1)

当时,

解得或,

解得

所以单调增区间为和,单调减区间为

(2)当时,取得极值,所以

解得(经检验符合题意)

+0-0+↗

↘

↗所以函数在,递增,在递减

当时,在单调递减,

当时

在单调递减,在单调递增,

当时,在单调递增,

综上,在上的最小值

略20.如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，则AC⊥平面DCC1D1，从而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，又∵AA1∩AB=A，AA1，AB?平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1，∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP===，∴tan=，∴cos，∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为．21.（本题满分12分）某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p、lnq万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：)．参考答案：解：设B型号电视机的投放金额为万元，A型号的电视机的投放金额为万元，农民得到的补贴为万元，则由题意得…………5分,令得…………7分当时，；当，时，…………9分所以当时，取得最大值，…………11分故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。

…………12分22.已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外