考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(一)

=______．=______．234=______．22112=______．=______．234=______．2211221=______．

(总分：106.00，做题时间：90分钟)

一、填空题(总题数：53，分数：106.00)

1.

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：24）解析：[解析]在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形．以期减少计算量．

逐行(列)相加(减)的技巧应当熟悉．

2.

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：b3(b+a)）i解析：[解析]每行元素都是a，a，a，a，b．把每列均加至第一列，则第

把各行(列)均加至某一行(列)是计算行列式值时的一个重要的构思．

3.

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：(ac-ac)(bd-bd)）1解析：[解析]本题有较多的0，并有较好的规律性，应当有用拉普拉斯展开式的设想．

拉普拉斯展开式的两种特殊情况应当会用

4.

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：120）

=______．的根是______．，则f(x+1)-f(x)=______．

解析：[解析]将行列式第四行加到第一行上，可提出公因子10再将第四行逐行相换至第二行得：=______．的根是______．，则f(x+1)-f(x)=______．

要熟悉范德蒙行列式范德蒙行列式可以直接使用，但要注意是下标大的数减下标小的数。例如：

5.

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：4!3!2!(或288)）解析：[解析]第2、3、4行提出公因子2、3、4，再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得

答案4!3!2!或均正确，这个答案体现了范德蒙行列式的特点，若能具体计算出4!3!2!=288填入288当然也是满分，注意若计算错则是零分．

6.

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：a，b，-(a+b)）解析：[解析]行列式的展开后是一元三次方程，应有三个根，由观察，当x=a时，一、二行相等，行列式为零，x=a是方程的根．同理x=b也是．(理由?)又行列式每行元素和为相等，且等于x+a+b，将第二、三列加到第一列，并提公因子，得

得x=-(a+b)故方程的三个根是a，b，-(a+b)．也可直接计算如下

7.设

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：6x2）

解析：[解析]*处右端第一个行列式的第3列拆成了四个数之和，从而拆开四个行列式．行列式的性质

从左至右是拆项，将一个行列式分解成二个行列式之和，从右至左是两个行列式相加．注意这不是全部对

，则平面曲线与x轴的交点的坐标是．231，则平面曲线与x轴的交点的坐标是．231232323232323

2233

223

23

2323233423423434234

34

34

34

34234=______．可以相加，相加时，其余各列(或行)不变，不同的列对应元素相加即可．

8.在xoy平面上，平面曲线方程

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：，(3，0)）

解析：[解析]曲线与x轴即y=0的交点为方程右端为范德蒙行列式，，得x=2，x=3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)(3，0)．9.设A=[α，α，α]是3阶矩阵，且|A|=4，若B=[α-3α+2α，α-2α，2α+α

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：20）解析：[解析]由行列式性质|B|=|α-3α+2α，α-2α，2α+α=|α-2α，α-2α，5α=5|α-2α，α，α=5|α，α，αB=[α-3α+2α，α-2α，2α+α

10.设四阶方阵A=[α，γ，γ，γ]，B=[β，γ，γ，γ]，其中α，β，γ，γ，γ量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|=______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：-56）解析：[解析]因为A-3B=[α，γ，γ，γ]-[3β，3γ，3γ，3γ=[α-3β，-2γ，-2γ，-2γ故有|A-3B|=|α-3β，-2γ，-2γ，-2γ=-8|α-3β，γ，γ，γ=-8(|α，γ，γ，γ|-3|β，γ，γ，γ=-8(|A|-3|B|)=-56矩阵行列式在考研中多次出现，当A，B均为n阶矩阵时，有|AB|=|A|·|B|，但|A+B|≠|A|+|B|，而|α+β，γ，δ|=|α，γ，δ|+|β，γ，δ|，两者不要混；又若三阶矩阵A=[α，β，γ]则kA=[kα，kβ，kγ]那么|kA|=k3|A||kα，β，γ|=k|A|两者也不要混淆．

11.若三阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1，3，-2．B*是矩阵B的伴随矩阵，则行列式

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：-27）

，则A+2A+Aij213141

213141

j1i，则A+2A+Aij213141

213141

j1i2j2injn

1k2j2knjnk

121314121314421243134414T，则T)(αT)(αT)=αTαTαTT=4A．

23123T是秩为Tα

TαTβ，则A99=______．213141(2A+2A+2A+2A)111213143，-2，又知|B|=-6．从而

12.设四阶行列式

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：-12）解析：[解析]因为代数余子式A的值与元素a个新的行列式．把|A|中第1列换为所求和的代数余子式的系数，即

则|A|与|B|的A，A，A，A是一样的，而对|B|按第|B|=A+2A+A那么只要计算出行列式|B|的值也就求出本题代数余子式的和．易计算出|B|=-12．在计算代数余子式的和时，不要忘记两个公式aAa+aA+…+aAaA+aA+…+aA若要计算A+A+A+A

注意到A+A+A+A

=(aA+aA+aA+aA13.设α=(1，3，-2)T，β=(2，0，0)T，A=αβA3=______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）

解析：[解析]因为

又因所以A3=(αβββ(β)(β)β=4αβ矩阵的运算要正确熟练．注意，若α=[α，α，α]T，β

前者αβ1的三阶矩阵，而β是一个数．当秩r(A)=1时，A2=lA其中l=β=α=∑a．ii进而Am=lm-1A

14.设

（分数：2.00）

，则矩阵A的伴随矩阵A*=______．23123231，则矩阵A的伴随矩阵A*=______．2312323123T，其中Tβ

解析：[解析]

从而有A5=A3A2=2A·A2=2A3=22A…………

15.若

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]按定义，求出行列式|A|的代数余子式，有

所以

或者，由A*=|A|A-1，现在|A|=-10，

而得用定义法求伴随矩阵时，要防止两种错误：求代数余子式不要丢掉正负号(-1)i+j；组装伴随矩阵时不要排错位置．本题A-1，|A|均好计算，所以用A*=|A|A-1求A*是方便的。求伴随矩阵的这两种方法都要掌握．16.已知α=(1，0，0)T，α=(1，2，-1)T，α=(-1，1，0)T且Aα=(2，1)T，Aα=(-1，1)T，Aα则A=______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]利用分块矩阵，有

A[α，α，α]=[Aα，Aα，Aα

那么17.设A=E+αβα，β是n维列向量，且α=3，则(A+2E)-1=______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：(7E-A)）

T)(E+αT)T+αTαT=E+2αT+αTαT)(E+αT)T+αTαT=E+2αT+αTαTT=E+5(A+E)=5A-4E(7E-A)=E(A-3E)．，B=(E-A)(E+2A)-1，则(B-E)-1=______．(E+2A)A-1(A-1+2E)A2=(E+αββ=E+2αββββ(β)β=E+5αβ即A2-5A+4E=O那么(A+2E)(A-7E)+18E=O

得(A+2E)·

故(A+2E)-1=(7E-A)18.设A是n阶矩阵，满足A5=0，则E-A可逆，且(E-A)-1=______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：E+A+A2+A3+A4）解析：[解析]A5=O，故-A5=O，两边加E，得E-A5=E左边分解因式，有(E-A)(E+A+A2+A3+A4)=E，故(E-A)-1可逆，且(E-A)-1=E+A+A2+A3+A4．19.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，

，则(B-2E)-1______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]为了求(B-2E)-1，利用已知条件AB=2A+3B，先分组配出B-2E，得：AB-2A-3B+6E=6E(A-3E)(B-2E)=6E

从而(B-2E)-1=

20.设

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析](A+B)-1没有运算法则．应当恒等变形将其化为乘积形式，本题用单位矩阵恒等变形之技巧．因为B-E=(E-A)(E+2A)-1-(E+2A)(E+2A)-1=[(E-A)-(E+2A)](E+2A)-1=-3A(E+2A)-1故(B-E)-1=[-3A(E+2A)-1]-1

=

=

，则B=______．，则A=______．，A是|A|中元素ijA=______．ij

因为，则B=______．，则A=______．，A是|A|中元素ijA=______．ij

所以(B-E)-1=

21.四阶矩阵A和B满足2ABA-1=AB+6E，若

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]化简矩阵方程，左乘A-1、右乘A有于是B(2E-A)=6E

所以B=6(2E-A)-1=

二阶矩阵的伴随矩阵有规律：主对角线对调，副对角线变号，即

因此二阶矩阵求逆用是简捷的．对于分块矩阵，要会用两个公式

另外kA=[ka]不要出错．不要与行列式性质混淆．ij

22.设矩阵A的伴随矩阵A*=

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]因为AA*=|A|E，故A=|A|(A*)-1，由已知得|A|=-8，又|A*|=|A|3，得|A|=-2．

又

所以A=|A|(A*)-1=由A可求A*，由A*也应会求A．本题求(A*)-1时，既可用初等行变换也可用分块矩阵求逆公式．

23.设

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：4-3a）解析：[解析]若能求得A*，则A*的全体元素之和即是|A|的全部代数余子式之和，由公式AA*=|A|E，故A*=|A|A-1|A|=1

ij，则矩阵A的伴随矩阵A*的逆矩阵(A*)-1=______．，又(A-1)T=(AT)-1，所以A-1每列元．，，若X满足AX+2B=BA+2X，那么X2=______．

ij，则矩阵A的伴随矩阵A*的逆矩阵(A*)-1=______．，又(A-1)T=(AT)-1，所以A-1每列元．，，若X满足AX+2B=BA+2X，那么X2=______．

故一般由A*求A-1，但也应会由A-1求A*．A和A*的关系应会联想到，因A*中的元素全是

24.已知三阶矩阵A的逆矩阵为A-1=

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）

解析：[解析]由AA*=|A|E，有(A*)-1=因为(A-1)-1=A，求出A-1的逆矩阵就是求出矩阵A．

可知A=

又因|A-1|=2．故(A*)-1=25.设A为n阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于a，则A-1每一行元素之和为______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）

解析：[解析]由于A的每一行元素之和为a，即

即

在等式两边左乘A-1得

由于A可逆，则a≠0．从而A-1

本题要求理解矩阵乘法的实质，进一步由于A*=|A|A-1，从而A*每一行元素之和为．若设A为n阶可逆矩阵，且A的每一列元素之和为a，那么A-1每一列元素之和等于多少?由于AT的行就是A

的列，故这时AT每一行元素之和为a，从而(AT)-1每一行元素之和为

素之和为

26.已知

，B是三阶矩阵，则满足AB=O的所有的B=______．2323123，则X=______．不可逆，故可设，t，u是任意常数．的系数矩阵完全一样，区别仅Aβ，B是三阶矩阵，则满足AB=O的所有的B=______．2323123，则X=______．不可逆，故可设，t，u是任意常数．的系数矩阵完全一样，区别仅Aβ=0，Aβ=0，Aβ=0，故β，β，β，于是23123

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]由已知AX+2B=BA+2X，得AX-2X=BA-2B，即(A-2E)X=B(A-2E)

由于A-2E=可逆，故X=(A-2E)-1B(A-2E)那么X2=(A-2E)-1B2(A-2E)

本题把矩阵方程与方幂(利用相似)相结合．在求逆时，应当知道关系式

27.设

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：，其中k，l，λ是任意常数）解析：[解析]将B按列分块，设B=[β，β，β

AB=A[β，β，β]=[Aβ，Aβ，Aβ方程组Ax=0的解向量．作齐次线性方程组Ax=0，并求出通解．

Ax=0有通解k[-2，-1，1]T，取β，i=1，2，3为Ax=0的通解，再合并成

AB=O时，B的每一列都是Ax=0的解，反之将Ax=0的解合并成矩阵B，则有AB=O，题设要求所有满足AB=O的B，故应取不同的任意常数k，l，λ，将Ax=0和AB=O联系起来是重要的．本题若已知A，求满足BA=O的所有的B，该如何求?

28.若

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：，t、u为任意实数）

解析：[解析]由于矩阵

所以

由于方程组

，则秩r(AB+2A)=______．，A*是A的伴随矩阵，则r(A*)*=______．2212

，则秩r(AB+2A)=______．，A*是A的伴随矩阵，则r(A*)*=______．2212

请你用这种方法判断矩阵方程

无解的条件．(答案a=-1)

29.已知

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：2）解析：[解析]由AB+2A=A(B+2E)，而

是可逆矩阵，故r(AB+2A)=r(A(B+2E))=r(A)经初等变换矩阵的秩不变，易见

所以r(AB+2A)=2．

30.设

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：0）解析：[解析]根据

现在n=4，r(A)=3r(A*)=1那么r(A*)＜n-1再利用伴随矩阵秩的关系式，就可看出r(A*)*=0．31.设A是五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η，η：是齐次线性方程组那么秩r(A*)=______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：0）解析：[解析]因为η与η的坐标不成比例，所以η，η线性无关．因而齐次方程组线性无关的解，于是n-r(A)≥2，即有r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，故|A|中4阶子式必全为0，因此，代数余子式A恒为零，从而所以秩r(A*)=0．本题涉及伴随矩阵、线性无关、基础解系及矩阵的秩诸概念，用的是定义法当分析出r(A)≤3之后，若熟悉关系式

亦可立即得出r(A*)=0的结论．显然，用性质比用定义要简捷的多，这两种方法都应当掌握．

经初等行变换化成3阶梯形矩阵)E(-2)EA1212相似，则r(A+E)=______．2-aλ2+(1-b)λ23，恒有r(A)=3，所以向量组α，α，α经初等行变换化成3阶梯形矩阵)E(-2)EA1212相似，则r(A+E)=______．2-aλ2+(1-b)λ23，恒有r(A)=3，所以向量组α，α，α2s2n2n

23123123，初等变换过程如下．1223秩r(α，α，…，α2s方程组xα+xα+…+xα122ss

故矩阵在可逆阵P，使得PA=B，其中P=______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]初等行变换相当于左乘初等阵，将题设初等行变换的过程用左乘初等阵表出即可

B=E(2

故P=E(2)E(-2)E=12为保证计算的正确，应验算PA=B是否成立．可逆阵可分解成若干个初等阵的乘积，初等行变换化A为阶梯形，实际上在左乘若干个初等阵，即左乘可逆阵．

33.已知

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：2）

解析：[解析]由A～B知

那么即λ-1=λ-b知a=0，b=1又由A～B知A+E～B+E那么

r(A+E)=r(B+E)=34.已知向量组α=(1，2，-1，1)T，α=(2，0，t，0)T，α=(0，-4，5，t)T线性无关，则

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：(-∞，+∞)）解析：[解析]由于向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来进行分析．

由于

α，α，…，α

n个n维向量α，α，…，α|α，α，…，α35.设n维向量α，α，α。满足2α-α+3α=0，β是任意n维向量，若β+α，β+α，αβ线性相关，则a=______．

23123

122323123

12233

23112233

2312312323

231231231223231223123

123212323

211232133

23233123123

23424241234341234

34

221212

21212

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]β+α，β+α，aβ+α线性相关，存在不全为零的数k(β+α)+k(β+α)+k(aβ+α整理和(k+k+ka)β+(kα+kα+kα因已知2α-α+3α=0，且β是任意向量，上式成立，只需取k=2，k=-1，k=3，则有2α-α+3α

且令β的系数为0，即k+k+ak=2-1+3a=0，即36.已知α，α，α线性无关，若α+2α+α，α+2α+α，α+aα，3α-aα线性相关，则

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：3或-1）解析：[解析]因为α+2α+α，α+aα，3α-aα线性相关，故有不全为0的x(α+2α+α)+x(α+aα)+x(3α-aα即(x+x)α+(2x+ax+3x)α+(x-ax)α由于α，α，α

因为x，x，x不全为0，所以上述齐次方程组有非零解，系数行列式必为

从而a=3或-1．

若看清行列式的书写规律，这一类填空题就很容易计算了．例如，若α-3α，aα+α+2α，2α+3α+α线性相关，求37.向量组α=(1，-2，0，3)T，α=(2，-5，-3，6)T，α=(0，1，3，0)T，α大线性无关组是______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：α，α，α解析：[解析]列向量作行变换，有

因为矩阵中有3个非零行，所以向量组的秩为3，又因非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α，α，α是向量组α，α，α，α列向量作初等行变换是求向量组极大无关组的基本方法．

本题秩为3，由于行列式，所以α，α，α也是向量组α，α，α，α似地α，α，α38.已知向量β=(1，a，-1)T可以由α=(a+2，7，1)T，α=(1，-1，2)T线性表出，则

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：3或-4）解析：[解析]因为α，α线性无关，所以β可由α，α线性表出的充分必要条件是α，α，β性相关．又因α，α，β是3个3维向量．故α，α，β线性相关的充分必要条件是行列式|α，α

122212

2

23

12122212

2

23

12321231231122331212

1122332123123

23232312323232n12n

2n

2n12n12n12n

2n12n

2n

2n12n

2n

2n12n

所以a=3或a=-4．通常线性表出的问题，应转换为非齐次方程组求解的问题．设xα+xα=β

然后对增广矩阵作初等行变换来求解．注意，若仅知α，α，β线性相关，并不能保证β可以由α，α与判断出α，α39.已知α=(2，3，3)T，α=(1，0，3)T，α若β=(4，-3，15)T可由α，α，α线性表出，β=(-2，-5，a)T不能由α，α，α线性表出，则

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：2）解析：[解析]β可由α，α，α线性表出，即方程组xα+xα+xα=β有解，β不能由α，αα线性表出，即方程组yα+yα+yα=β来加减消元．

总有解，即β必可由α，α，α

而方程组在a=2时无解，即β在a=2时不能由α，α，α40.已知α=(1，4，2)T，α=(2，7，3)T，α=(0，1，a)T可以表示任意一个三维向量，则a

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：a≠1）解析：[解析]α，α，α可表示任一个

α，α，α与ε=(1，0，0)T，ε=(0，1，0)T，ε

秩r(α，α，α

|α，α，α

所以a≠1．若α，α，…，α可以表示任一个n维向量，那么α，α，…，αε(1，0，0，…，0)T，ε=(0，1，0，…，0)T，…，ε显然，ε，ε，…，ε亦可表示α，α，…，α于是α，α，…，α与ε，ε，…，ε性表出．从而它们有相同的秩．故r(α，α，…，α)=r(ε，ε，…，ε所以α，α，…，α反之，若α，α，…，α线性无关，则因α，α，…，α，β是n+1个n维向量必线性相关．从而可由α，α，…，α即α，α，…，α线性无关的充分必要条件是α，α，…，α表示任一个

23Tβ

234123212的基础解系是______．4

4323Tβ

234123212的基础解系是______．4

4343243144

4343243141

2=(-1，1，4，-1)T=(-2，1，5，-3)T

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：(1，1，-1，0)T）

解析：[解析]向量α，β正交内积α=0设β=(x，x，x，x)T与α，α，α

对齐次方程组Ax=0的系数矩阵作初等行变换，有

得到基础解系是(-1，-1，1，0)T．将其单位化即为所求．42.向量α=(1，1，2，3)T，α=(-1，1，4，-1)T的

（分数：2.00）

填空项1:__________________（正确答案：）解析：[解析]先正交化β=α

β=α再单位化，有

43.四元齐次线性方程组

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：(0，1，0，0)T，(-2，0，3，1)T）解析：[解析]由齐次方程组的系数矩阵

易见秩r(A)=2，那么n-r(A)=4-2=2，故基础解系由两个线性无关的解向量所构成，且每个解中有两个自由变量．由于1、3两列所构成的二阶子式

故可取x，x为自由变量．2令x=1，x=0，由第二个方程x-3x=0求出x=0．再把x=1，x=0，x=0代入第一个方程x+2x=0求出于是得到解η=(0，1，0，0)T，1令x=0，x=1由第二个方程x-3x=0求出x=3，再将x=0，x=1，x=3代入第一个方程x+2x=0，求出于是得到解η=(-2，0，3，1)T．2所以Ax=0的基础解系是η，η本题考查齐次线性方程组基础解系的求法，先由n-r(A)明确基础解系中解向量的个数要不多也不缺．要会确定自由变量，要会给自由变量赋值(若有3个自由变量，则赋三次值，通常每次给1个自由变量赋值为1，

2有无穷多解，则a=______．有无穷多解，那么a=______．，而有无穷多解的充要条件是r(A)=r无解，则a=______．．对增广矩阵作初等行变换有232有无穷多解，则a=______．有无穷多解，那么a=______．，而有无穷多解的充要条件是r(A)=r无解，则a=______．．对增广矩阵作初等行变换有234为什么?

44.已知齐次线性方程组

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：-5或-6）解析：[解析]齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)＜n．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．

故a=-5或a=-6．对n个未知数n个方程的齐次线性方程组作是否有非零解的判定时，既可以用秩也可以用行列式．如果方程个数与未知数个数不相等，那么一定用秩．

45.已知方程组

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：3）

解析：[解析]线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=r

＜n．对增广矩阵作初等行变换，有

由于r(A)=2，而r=26-2a=0所以，方程组有解的充分必要条件是a=3．若|A|≠0，由克莱姆法则，方程组有唯一解，而|A|=0，说明方程组无解或有无穷多解，因此，|A|=0是方程组有无穷多解(或无解)的必要条件，但由此并不能确定究竟是哪一种情况．对于无解或存无穷多解，最好由增广矩阵入手．

46.已知方程组

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：-1）

解析：[解析]非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是r(A)≠r

可见a=-1时，r(A)=2，r=3，线性方程组无解，所以应当填a=-1．本题涉及非齐次线性方程组解的理论，矩阵的初等行变换，及矩阵秩的计算．根据本题的特点，对x消元之后，当然可以继续对x消元，但计算量会稍大，不如一次消去

222＜3．另

47.设α=(6，-1，1)T与α222＜3．另

的两个解，那么此方程组的通解是______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：(6，-1，1)T+k(13，-5，-1)T(k为任意常数)）

解析：[解析]一方面因为α，α是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，故必有一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

又必有r(A)≥2，因此，必有r(A)=r=2．那么，n-r(A)=3-2=1，因此，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质α-α=(6，-1，1)T-(-7，4，2)T=(13，-5，-1)T是导出组结构，知(6，-1，1)T+k(13，-5，-1)(为任意常数)是方程组的通解．本题考查线性方程组解的性质与解的结构，以及矩阵秩的判定．

48.设线性方程组Ax=b，即3×4有通解k[1，2，-1，1]T+[1，-1，0，2]T，其中k是任意常数，则方程组B

有一个特解是______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：(-3，1，1)T）解析：[解析]由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量．若方程组(2)有解ξ=(a，b，c)T，则η=(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解k(1，2，-1，1)T+(1，-1，0，2)T，其中k是任意常数，选择任意常数k，使(1)的解的第一个分量为0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1)T，则向量(-3，1，1)T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解．49.设线性方程组Ax=b，即3×3

有唯一解ξ=[1，2，3]T．

方程组B有特解η=[-2，1，4，2]T，则方程组(2)的通解是______．

（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：k(-3，-1，1，2)T+(-2，1，4，2)T，其中k是任意常数）解析：[解析]方程组(1)Ax=b有唯一解，故r(A)=r(A|b)=3．显然r(B)=r(B|b)=3，且η=(