极坐标的知识点和例题与答案

曲线的极坐标方程【知识网络】曲线的极坐标方程的意义.直线'圆和圆锥曲线的极坐标方程.【典型例题】例1.(D化极坐标方程P2COS0-P=0为直角坐标方程为 (C)A.x2+y2=0或y=l B.1=1C.x2+>2=0或x=l D.y=1提示：p(pCOS0-1)=0,p= +y2=0,或pcosO=x=l(2)在平面直角坐标系中，以点(1，D为圆心，也为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以怎轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 (A)A.P=2V2cos(9-^) B.P=2>/2sin(04 4c.p=2很cos(0—1) D.P=2>/2sin(0-l)提示：圆的直角坐标方程为(X—1)2+(》一1)2=2,化为极坐标方程为(pcos。一l)2+(psin。一1)2=2,p[p-2V2cos(0--)]=O)■■■曲线P一2J&os(0-—)=0也过极点，p[p2\'2cos(0——)]=0与p-2-%/^cos(°_§)=°等价，对应的极坐标方程为P=2J3cos(9一巳).(O(3)极坐标方程Pcos6=2sin26表示的曲线为(OB.两条直线D.一个圆A.B.两条直线D.一个圆C.一条直线和一个圆提示：pcos6=4sin0cos0,cos0=0,或p=4sin0，艮Pp2=4psin0则。，或则。，或A>2=4y(4)极坐标方程分别为P=cos。与p=sin6的两个圆的圆心距为11提示：圆心分别为（5,°）和（°，厅）3双曲线（5）极坐标方程p=2-4COS0表示的曲线是双曲线33 ?提示：「=亦前等价E= 22例2.设过原点。的直线与圆3—1）2+》2=1的一个交点为户，点心为线段0P的中点，当点户在圆上移动一周时，求点心轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆3—1贝+产=1的极坐标方程为P=2C0S0 <0<y）,设点户的极坐标为（P]，l），点、M的极坐标为（P,°）,.••点M为线段°尸的中点，P]=2p,q=。，将P]=2p,q 代入圆的极坐标方程,得P=cos9..•.点M轨迹的极坐标方程为P=COS。（-y<0<y）,它表示原心在点（;，°）,半径为;的圆.71例3.过抛物线产=8x的焦点F作倾斜角为-的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度.TOC\o"1-5"\h\z1 / 4解：对此抛物线有°=1,〃=4,所以抛物线的极坐标方程为P=]_cos0,tc5兀 4A,8两点的极坐标分别为；和丁，\FA\= =4（2+72）,4 4 1兀1-COS—4\FB\=—— =4（2-^2）,：\AB1=17^41+IF51=16.1-COS——4线段A8的长度为16.例4.长为2。的线段，其端点在C次轴和°〉轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为心，求点心的轨迹的极坐标方程（°尤轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设线段的端点分别为A,8且A在Ox轴正方向上，6在°〉轴的正方向上，设点心的极坐标为（P，°）,则Z0BM=40M=0,且IQ4l=2osin°,p=1OAIcos0=2asin0cos0=asin29,■■■点M的轨迹的极坐标方程为p=1sin2。（0<°<?）.J. 3由p=«sin20可得p3=2ap2sin0cos0, （X2+y2）2=laxy其直角坐标方程为（42+产）2=2axy（x>0,y>0）.

【课内练习】1.将极坐标方程p2cos20=16化为直角坐标方程是（C）a.*2=a.*2=16b.y2=16c.*2—y2=16d.y2—^2=16提示：p2cos20=16np2(cos20一sin20)=16n*2一y2=16(D)2.极坐标方程pcos20=0表示的曲线为(D)A.极点B.极轴A.极点B.极轴c.—条直线D.两条相交直线兀提示：pcos20=0,cos20=0,0=k冗土-，为两条相交直线(A)3.圆p=5cos0—sin0的圆心坐标是(A)a.(—5,—m)b.a.(—5,—m)b.(—5,；)c.(5,孑d.(-5，m)提示：圆的普通方程为（*一|）2+（y+2=25,圆心为（：，一，半径为5.pcos0=5,psin0=—登2 2-4.两直线0=a和Pcos（0—以）=a的位置关系是（）A.平行B.相交但不垂直A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合提示：0=a的直角坐标方程为y=尤tanapcos（0—以）=a化为直角坐标方程为*cosa+ysina—a=0，其斜率为一cota，直线y=*tana的斜率为tana，...两直线互相垂直（a=—时也成立）.5.设曲线的普通方程为*2+y2=R2，则它的极坐标方程为提示：用尤=pcos0,y=psin0代入即得.6.直线*cosa+ysina=0的极坐标方程为提示：直线的极坐标方程为pcos（0—以）=0.兀设直线过极坐标系中的点M（2,5）,且平行于极轴，则它的极坐标方程为psin0=2提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为y=2.

从极点作圆P=2acos9的弦，求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点M的极坐标为（P,9），圆P=2acos9上的动点的极坐标为（P1,91）由题设可知，]c1Cc，将其代入圆的方程得：P=acos9（―：^9V：）.[P=2P 2 2，冗 冗、所求的轨迹方程为r=acos中（—yV中V-）ep已知曲线的极坐标方程为ep已知曲线的极坐标方程为P=1—E,求此曲线的直角坐标方程，并讨论e在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中e和p为正的实常数）.解：方程写成P—ePcos9=eP,将p=\：x2+y2和x=pcos9代入，得\：'x2+y2—ex=ep，即、:x2+y2=ex+ep，两边平方，得x2+y2=e2x2+2e2px+e2p2整理得，（1一e2）x2+y2-2pe2x一e2p2=0.由上述方程可知，当e>1时，方程表示双曲线；当e=1时，方程表示抛物线；当0<e<1时，方程表示椭圆.io.过椭圆b2x2+a2y2=a2b2的左焦点作直线，交椭圆于A,B两点，证明：己如；+二7IFAIIfBI为定值.x2,y21证明：椭圆b2x2+a2y2=a2b2方程可化为一+；=】，a2b2c a2 a2一c2b2二e=-,p=——c= =—，ac cc以椭圆的左焦点极点，x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系，b2则椭圆的极坐标方程为P=—c—-a设点A的极坐标为（P,9），则点B的极坐标为（P,9+兀），c c1——cos91——cos（9+兀）。1+ =a+a =2^"IFAIIFBI~ b2 b2 —b2为定值.作业本i.将直角坐标方程y2a=12x化为极坐标方程p=1_cosg时，极点和a的值分别是（D）A.坐标原点°,12B.坐标原点0,6C.焦点F,12 D.焦点F，6提示：由直角坐标方程y2=12X知，p=6，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，极点是圆锥曲线的焦点.设曲线的极坐标方程为p=2asing（a>°），则它表示的曲线是 （D）A-圆心在点（a，°）直径为a的圆 B-圆心在点（°，a）直径为a的圆。.圆心在点（a，°）直径为2a的圆 D.圆心、在点（°，a）直径为2a的圆提示：曲线的直角坐标方程为X2+y2_2ay=°，即］2+（y―a）2=a2.在极坐标系中与圆P=4sin6相切的一条直线的方程为 （A）A.Pcos6=2B.Psin6=2c.P=4sin（6+；）D.P=4sin（6一：）提示：P=4sin6的普通方程为x2+（y一2）2=4，pcos6=2的普通方程为X=2圆x2+（y一2）2=4与直线%=2显然相切4.设曲线的极坐标方程为p=4cos6，则它的直角方程为x2+y2_4x=°提示：P=4cos6与P2=4Pcos6等价.设直线过极坐标系中的点M（2，°）,且垂直于极轴，则它的极坐标方程为 Pcos6=2过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为6的直线，交抛物线于A，B两点，求;；+；;IFAIIFBI的值.解：抛物线y2=4x中，p=22在以抛物线的焦点F为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为p=［一cos6，设A点的极坐标为(P,°)，则点B的极坐标为(P,°+兀),1 1 1-cos°1+cos° 1 1则\FA\+IFBI 2—+—2 ，二IFAI+\FB\的值为1-一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳L6x108千米时，兀极半径和轨道的轴成y角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为P=]_C0s°，因为°=：时，P=l・6xl。8，..1.6x108=—p—=2p， ...p=8x107，1-cos—38x107轨道的极坐标方程为p=]_cos°，当°=兀时，P=4x107.8x107..•这颗慧星轨道的极坐标方程为P=]_cos°，它的近日点离太阳的距离为P=4x107千米.8.从极点。引一条直线和圆P2-2Pcos°+a2-r2=0相交于一点Q，点P分线段0Q成比m:n，求点Q在圆上移动时，点P的轨迹方程，并指出它表示什么曲线._m+n解：