高考数学总复习第3课时一元二次不等式及其解法文-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第3课时一元二次不等式及其解法文-A3演示文稿设计与制作第3课时一元二次不等式及其解法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考第3课时双基研习·面对高考1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根基础梳理ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_______________{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}∅∅思考感悟当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：当a<0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．2．用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程为：1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是(

)A．{1,2,3}

B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}答案：B课前热身答案：C3．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解是(

)A．x>5a或x<－a B．x>－a或x<5aC．5a<x<－a D．－a<x<5a答案：B4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的x的取值范围是________．5．已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为________．考点探究·挑战高考一元二次不等式的解法考点一考点突破解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．例1

解下列不等式．(1)2x2＋4x＋3>0；(2)－3x2－2x＋8≥0；(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【思路分析】

首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间；若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中对a要分类讨论．【解】

(1)

∵Δ＝42－4×2×3<0，∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根，二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x2＋4x＋3>0恒成立，所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.(2)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝100>0，【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．互动探究本例中(3)若变为ax2－(2a＋1)x＋2<0，试解该不等式．一元二次不等式恒成立问题考点二(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．例2

设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．【思路分析】

本题(1)可讨论m的取值，利用判别式来解决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：法一是利用二次函数区间上的最值来处理．法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般法二比较简单．【误区警示】本题中易出现漏“m＝0”的情况，原因是对于二次项系数为参数的函数直觉上认定其为二次函数．一元二次不等式的实际应用考点三实际应用问题是新课标中考查的重点，突出了对应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现．解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系再利用不等式的解法求解．例3

某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？(2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？【思路分析】生产第x档次产品时，产品的利润＝生产数量×每件利润，表示出产品利润后求利润最大时对应的x值．【解】

(1)设生产第x档次产品时，所获利润最大，则生产第x档次产品时，每件利润为16＋(x－1)×1(元)，生产第x档次产品时，每天生产[40－2(x－1)]件，所以生产第x档次产品时，每天所获利润为：y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]＝－2(x－3)2＋648(元)．当x＝3时，y最大，即生产第三档次产品利润最大．(2)若最低档次产品每件利润为22元，则生产第x档次产品时，每天所获利润为：y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]＝－2x2＋882.因为x[1,6]，且xN，所以当x＝1时，y最大，即生产第一档次产品利润最大．【规律方法】

不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)认真审题、把握关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回归实际问题．方法感悟方法技巧1．解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化成标准型，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，其中a>0.(如例1(2))．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系．(1)知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根可以写出对应不等式的解集；(2)知道一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也可以写出对应方程的根．3．数形结合：利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集．失误防范1．一元二次不等式的界定．对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别．如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0它实际上是一个一元一次不等式；只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式．2．当判别式Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅.二者不要混为一谈．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年高考试题分析，不等式的解法是每年高考的必考内容，特别是一元二次不等式，它与一元二次方程、二次函数相联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终．解不等式的题目，有时会单独出现在选择题或填空题中，以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现，难度不大，属于中低档题，有时会与函数、三角、解析几何、向量等知识相交汇，作为解题工具出现在解答题中．预测2012年高考，不等式仍将与其他知识交汇进行考查，重点考查学生的计算能力．真题透析例 (2009年高考山东卷)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(

)A．(0,2)

B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)【解析】∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.【答案】

B【名师点评】对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而进行求解．名师预测1．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，则(

)A．a≥1 B．a<－1C．a>－1 D．a∈R解析：选C.∵解集为{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.2．已知集合M＝{x|x2－2010x－2011>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2011,2012]，则(

)A．a＝2011，b＝－2012B．a＝－2011，b＝2012C．a＝2011，b＝2012D．a＝－2011，b＝－2012解析：选D.化简得M＝{x|x<－1或x>2011}，由M∪N＝R，M∩N＝(2011,2012]可知N＝{x|－1≤x≤2012，即－1,2012是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．所以b＝－1×2012＝－2012，－a＝－1＋2012，即a＝－2011.4．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．答案：m≤－5感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)