2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat4页共NUMPAGES\*MergeFormat26页2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可得出.【详解】解：A.当时，，故错误；B.，不等式两边同时除以，得，故错误；C.，不等式两边同时除以，得，故错误；D.，不等式两边同时取3次幂，得，故正确，故选：D.【点睛】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.2．已知双曲线，则其渐近线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据双曲线渐近线的公式求解.【详解】解：由已知，双曲线，则其渐近线方程是，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求解，是基础题.3．如图，空间四边形中，，，，点为的中点，点在线段上，且，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果.【详解】解：由已知，故选：D.【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止.在这个问题中，第个孩子分到的棉花为（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】C【解析】设第一个孩子分配到斤棉花，利用等差数列前项和公式得：，解方程从而得到.【详解】解：设第一个孩子分配到斤棉花，

则由题意得：，

解得＝65，故选：C.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的公式的合理运用.5．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为，

由题意得，

，

，

解得，

∴，

∴这个二面角的度数为，

故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用基本不等式的性质即可得出.【详解】解：，当且仅当时取等号，

因此经过后池水中药品的浓度达到最大.

故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题.7．已知抛物线，为其焦点，抛物线上两点、满足，则线段的中点到轴的距离等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离.【详解】解：抛物线的焦点,准线方程，

设，

，

解得，

∴线段的中点横坐标为，

∴线段的中点到轴的距离为，

故选：B.【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.8．已知数列满足，且，则数列的前项和（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，利用，可推出，直接求和即可.【详解】解：，，两式相除得，因为，所以，由，得，，，所以，故选：B.【点睛】本题考查数列求和问题，关键是求出，该数列隔项为等比数列，由于只求前项和，每个都求出来更方便，是中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要而不充分条件D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B.根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D.根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.10．设数列是等差数列，是其前项和，且，则（）A． B．C．或为的最大值 D．【答案】BC【解析】将看成关于的一个二次函数，利用二次函数的性质研究其最值，进而可得答案.【详解】解：因为，所以，则是关于的一个二次函数，又且，对称轴，开口向下，则，故A错误，又为整数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故D错误，所以最靠近的整数或时，最大，故C正确，所以，故B正确，故选：BC.【点睛】本题考查数列的函数特性，关键是利用的二次函数特性来解决问题，是中档题.11．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（）A．点纵坐标为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为【答案】CD【解析】设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.【详解】解：由已知，不妨设，则，故A错；，得，，，，，，故B错；由椭圆定义，的周长，故C正确；设的内切圆半径为，，，故D正确；故选：CD.【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.12．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（）A．直线与的夹角为B．平面平面C．点到平面的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】对A：通过平移使直线与共面来求解；对B：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C：利用体积法求点到面的距离；对D：作出截面可判断.【详解】解：对A，连结，则为直线与，明显为等边三角形，故A正确；对B，易得，所以面，所以平面平面，故B正确；对C，，又，所以点到平面的距离为，故C错误；对D，，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.三、填空题13．已知向量与向量共线，则_______________.【答案】【解析】设，有，列方程组求出即可.【详解】解：因为向量与向量共线，则存在，使，，解得，，故答案为：.【点睛】本题考查空间向量共线问题，是基础题.14．已知等比数列是递增数列，是的前项和，，是方程的两个根，则__________.【答案】【解析】解方程求出，，进而可求出公比，根据公比求出，，则就可以求出来了.【详解】解：由已知解方程得，，，，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，是基础题.15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间的关系分别为：，.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.【答案】乙乙车超过了限定速度【解析】根据所给函数，算出两车的车速即可得到答案.【详解】解：对甲车：令，解得（负值舍去），甲车车速在限速以内；对乙车：令，解得（负值舍去），乙车车速超过限速，故答案为：乙；乙车超过了限定速度.【点睛】本题考查函数模型的应用，是基础题.16．已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是_____________.【答案】【解析】求得双曲线的渐近线方程，结合直角三角形的性质和渐近线的对称性，可得关系，进而可得离心率.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，

若，可得在直角三角形中，

由，

可得，

，，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.四、解答题17．已知：“实数满足不等式”；：“实数满足不等式，其中实数”.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】求出，的等价命题，然后利用是的充分不必要条件，列不等式组求解实数的取值范围.【详解】解：因为，所以，解得，可化为，因为，所以，设，，因为是的充分不必要条件，所以，此时有所以.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查考查对充分性和必要性的理解，考查计算能力，是基础题.18．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连结、，先证明四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定理可得结果；（2）连结，，得到为直线与平面所成的角，在中求出.【详解】（1）证明：取的中点，连结、，因为是的中位线，所以，且，又因为，且，分所以且所以四边形是平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，（2）解：连结，，因为，是中点，所以，又因为面面，面，面面所以面，所以直线为在面内的射影，所以为直线与平面所成的角，设，则在中，，，，所以，所以，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档题.19．已知数列的前项和，且数列是首项为，公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）先利用等差数列的通项公式，求出，即可得，再根据，求出的通项公式；（2）利用裂项相消法求，然后观察可得结果.【详解】解：（1）由题意，所以，当时，；当时，，又因为适合上式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，可得，所以，因为，所以.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基础题.20．给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线的准线方程为：，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；（2）假设总有，由题意得直线的斜率不为，设直线的方程为，由得设，所以恒成立，，，则，所以，所以，综上所述，无论如何变化，总有.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.21．如图，在四棱锥中，平面，，，，，二面角为，为的中点，点在上，且（1）求证：四边形为直角梯形；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明，且可得四边形为直角梯形；（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面和面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面，，所以因为，且，所以四边形为直角梯形；（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由（1）知，又，则为二面角的平面角，则，，所以，，所以，，，所以，，设平面的法向量，则，即令：，则，，所以，又平面的法向量，所以，由题意知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题.22．已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，，依次成等比数列，其离心率为.过点的动直线与椭圆相交于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程；（3）在平面直角坐标系中，若存在与点不同的点，使得成立，求点的坐标.【答案】（1）（2）直线的方程为或（3）点坐标为【解析】（1）根据条件列关于的方程组，解方程组即可得结果；（2）验证当直线的斜率不存在时的情况，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，先利用弦长公式求出，列方程求出，进而可得直线的方程；（3）验证当直线与轴平行和垂直时的情况，直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用（2）中所求，利用韦达定理得到，，三点共线，进而可得成立，点坐标也可求出.【详解】解（1）由题意知，解得，，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直