2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高二上学期期中考试数学试题及解析

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat23页共NUMPAGES\*MergeFormat24页2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高二上学期期中考试数学试题及解析一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2．某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.A．36 B．37 C．41 D．42【答案】B【解析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8-3)5,由此能求出结果.【详解】解：由这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,...,第十组46~50号,在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为12+(8-3)5=37.故选B.【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，牢记系统抽样的定义及性质是解题的关键.3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】画出可行域，用截距模型求最值．【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值．由，得，所以．故选C．【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．4．已知，均为单位向量，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．5．在中，角，，的对边分别为，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用正弦定理结合条件可得，进而利用余弦定理可得所求角.【详解】因为，则由正弦定理可得，即.则由余弦定理，可得.又，所以.故选D.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查学生合理边角转化的能力，属于中档题.6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B【考点】排列、组合及简单计数问题．7．已知，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．8．在区间上分别任取两个数，若向量，，则的概率是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知向量的坐标求出满足的所满足的条件，结合，数形结合得答案．【详解】解：由，，得由，得

，即．

满足．

作出图形如图：

圆的面积为，正方形OABC的面积为4．

则的概率是．

故选：A．【点睛】本题考查几何概型，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据勾股定理可知，从而求得；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点到平面的最大距离，在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】，如下图所示：若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：即：设球的半径为，则在中：，解得：球的表面积：故选【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.10．设[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{}满足：，（），则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】把已知数列递推式变形，利用累加法求数列的通项公式，再由裂项相消法求和，则答案可求．【详解】解：由，得（），又，∴．则．∴．故选：A．【点睛】本题考查数列递推式、利用累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．11．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．【答案】【解析】因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，的均值为，所以答案应填：．【考点】均值的性质．14．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）【答案】57【解析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.【详解】由题得的通项为，令r=0得的常数项为,令-r=-2，即r=2,得的的系数为.所以的常数项为1+2×28=57.故答案为：57【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．在等差数列{}中，满足＞0，且，则的最小值为____________．【答案】【解析】由等差数列的性质得：，再根据基本不等式求最值.【详解】解：因为等差数列{}中，满足＞0，且，所以且＞0，＞0，则，故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的性质及基本不等式，属中档题．16．在锐角中，所对边分别为，且，则的取值范围为_______.【答案】【解析】利用正弦定理化简可得,再将转化为关于的函数,利用的取值范围进行求解即可.【详解】由正弦定理化简可得,即,化简得.又锐角,故,即.所以.又锐角中,解得.故,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角以及三角恒等变换公式的运用,同时也考查了根据角度的范围求解关于角度的函数范围问题.属于中档题.三、解答题17．已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）,.【解析】【详解】（Ⅰ）由已知，有.所以的最小正周期.（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为.【考点】三角恒等变形、三角函数的图象与性质.18．某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，，分组，整理如下图：（1）求频率分布直方图（图乙）中的值，并估计1200个日销售量中，数据在区间中的个数.（2）从日销售量在的甲种酸奶的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列.【答案】（1）160个；（2）分布列见解析【解析】(1)根据图乙频率分布直方图中频率和为1列式求解,再根据甲图中酸奶的频数分析乙中的频数,再根据分层抽样的方法求解即可.(2)分析得的所有可能取值1,2,3,再根据超几何分布的特点列出分布列即可.【详解】（1）由图（乙）知,解得；由图（甲）知,甲种酸奶的数据共抽取20个,其中有4个数据在区间内,∵分层抽样共抽取个数据,∴乙种酸奶的数据抽取了个,又∵乙种酸奶的日销售量数据在区间内的频率为0.1,∴乙种酸奶的日销售量数据在区间内有个．∴抽取的60个数据中,共有个数据在区间内．则在1200个数据中,内的数据有160个．（2）的所有可能取值1,2,3．则,,,其分布列如下：123【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用,同时也考查了超几何分布与分布列的问题.属于基础题.19．已知数列满足，，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由得出，由等比数列的定义得出数列为等比数列，并且求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n项和．试题解析：（1）由，得，即，且,所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以.所以.①.②①-②，得，所以.故数列的前项和.20．如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，所以，因为，所以，，又因为，所以平面，所以平面．（2）取的中点，连接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面，过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，．，，设平面的法向量为，则即则，易知为平面的一个法向量，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.21．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩(分)与班级平均分(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据:，，，.参考公式：，，(计算时精确到).【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案.【详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为(2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)(3)，,关于的回归方程为当时，,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，