2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat3页共NUMPAGES\*MergeFormat25页2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．方程表示的曲线是（）A．一条射线 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支【答案】D【解析】根据方程表示点到点和点的距离之差为，得到答案.【详解】方程表示点到点和点的距离之差为，，故表示的是双曲线的右支.故选：.【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键.2．已知,则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案．【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题．故选：A．【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．4．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是（）A．α⊥β且m⊂β B．α⊥β且m∥β C．α∥β且m⊥β D．m⊥n且n∥α【答案】C【解析】选项均可得到，或与相交，得到答案.【详解】A.α⊥β且m⊂β，则或或与相交，故排除；B.α⊥β且m∥β，则或或与相交，故排除；C.α∥β且m⊥β，则m⊥α，正确；D.m⊥n且n∥α，则或或与相交，故排除；故选：.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点，若点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】计算得到，再计算长度得到答案.【详解】点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点，故.故选：.【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若⊥，则•0”的否命题为“若⊥，则•0”B．命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的减函数”C．命题“在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B”的逆否命题为真命题D．命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为真命题【答案】C【解析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】A.命题“若⊥，则•0”的否命题为“若不垂直，则•0”，故错误；B.命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x不是R上的增函数”，故错误；C.命题“在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B”是真命题，故逆否命题为真命题，正确；D.命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”，为假命题，错误；故选：.【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为平面BCC1B1的中心，则直线DE与平面ACD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为，则，.易知平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为，则，.根据得到平面的法向量为，，故，故，直线DE与平面ACD1所成角，满足.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．设双曲线的上焦点为F，过点F作与y轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则双曲线的离心率e的值是（）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】根据三点共线得到，计算得到，代入双曲线方程，化简得到答案.【详解】渐近线为：，取，解得，则.，且三点共线，故，，则或，不妨取，则，代入双曲线方程得到：，即.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到是解题的关键.9．设抛物线y2＝8x的焦点为F，经过定点P（a，0）（a＞0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，|AF|+2|BF|＝9，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】过作垂直准线于，过点作垂直准线于，连接并延长与的延长线交于，根据相似得到，得到答案.【详解】如图所示：过作垂直准线于，过点作垂直准线于，连接并延长与的延长线交于.，则，，即，.根据三角形相似得到：，故，，故.故选：.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．四棱锥P﹣ABCD中，已知，|AB|＝|AD|＝a，|AP|＝b，|PC|＝1，则b的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据对称性知在平面的投影在的角平分线上，设为，作于，连接，，计算得到，根据勾股定理计算得到答案.【详解】根据对称性知在平面的投影在的角平分线上，设为，作于，连接，.，，故平面，故，故，.，.在中，，即，故.当和点重合时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．双曲线的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____．【答案】yx（±2，0）【解析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，焦点坐标为.故答案为：；.【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12．已知，．若，则μ＝_____；若，则λ+μ＝_____．【答案】【解析】根据垂直得到，根据平行得到，计算得到答案.【详解】，故；，则，即，故，解得故.故答案为：；.【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13．已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．【答案】13【解析】化简得到，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：，.故；故答案为：；.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_____【答案】x2＝4yy＝x﹣1．【解析】设动点P的坐标为（x，y），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1，计算得到答案.【详解】设动点P的坐标为（x，y），由题意可知：；∴x2＝4y；动点P的轨迹C方程为x2＝4y；设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1；①当k不存在时，则直线方程为x＝2，与曲线C不相切；②当k存在时，联立，∴x2﹣4kx+8k﹣4＝0．∵直线与曲线C相切，∴△＝16k2﹣32k+16＝0；解得k＝1；切线l的方程为y＝x﹣1．故答案为：；.【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．在四面体ABCD中，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB＝2，，则二面角B﹣AD﹣C的余弦值为_____．【答案】【解析】如图所示建立空间直角坐标系，平面的法向量，平面的法向量，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设中点为，则，，故，故两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面的法向量，设平面的法向量为，，则，解得：，则法向量夹角.故二面角B﹣AD﹣C的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线y＝x2上，∠BAD＝60°，对角线AC平行x轴，且AC平分∠BAD，若，则ABCD的面积为_____．【答案】【解析】不妨设，计算得到，，计算得到，根据计算得到答案.【详解】不妨设.则，故；，故.，即，..故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力.17．已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____．【答案】[，）．【解析】根据直线和圆相离得到a2b2＞c2（a2+b2），根据等腰三角形得到2e4﹣5e2+1≤0，计算得到答案.【详解】AB所在直线方程为，即bx﹣ay+ab＝0，又直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，∴c，即a2b2＞c2（a2+b2），∴a2（a2﹣c2）＞c2（2a2﹣c2），整理得：e4﹣3e2+1＞0，解得0＜e2；又存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则在Rt△OPN中，OPONc，∴，即a2b2≤2c2（a2+b2），∴a2（a2﹣c2）≤2c2（2a2﹣c2），整理得2e4﹣5e2+1≤0，解得e2＜1．∴e2的取值范围是[，）．故答案为：[，）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题18．已知a＞0，且a≠1．命题P：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上为增函数；命题Q：函数g（x）＝x2﹣2ax+4有零点．（1）若命题P，Q满足P真Q假，求实数a的取值范围；（2）命题S：函数y＝f（g（x））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S为真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）（1，2）；（2）（1，）．【解析】（1）根据命题P，Q满足P真Q假，计算得到答案.（2）首先保证g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a＜1和1＜a＜2两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）由命题P：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上为增函数是真，得a＞1；由命题Q：函数g（x）＝x2﹣2ax+4有零点为假，得△＝4a2﹣16＜0，得﹣2＜a＜2．∴使命题P真Q假的实数a的取值范围是（1，2）；（2）若函数y＝f（g（x））在区间[2，+∞）上值恒为正数，则首先保证g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，则△＝4a2﹣16＜0或，得﹣2＜a＜2．又a＞0且a≠1，∴0＜a＜2且a≠1．当0＜a＜1时，外层函数f（x）单调递减，而内层函数g（x）当x→+∞时，g（x）→+∞，此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g（x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a．∴1＜a．即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，）．【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，，BD＝2．（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）．【解析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，确定则∠ANC为二面角A﹣PB﹣C的平面角，计算得到答案.【详解】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB；由E，H分别为PD，PA的中点，则EH∥AD且；又F为BC的中点，则BF∥AD且；所以EH∥BF且EH＝BF，则四边形BFEH为平行四边形；所以EF∥BH，又HB平面PAB；所以EF∥平面PAB；（2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，在△PBD中O为AC的中点，PD＝PB，则PO⊥BD；又平面PBD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；在△PBD中，PD⊥PB，BD＝2．则PD＝PB；由题意有PA＝PC，AO＝2，，在等腰三角形APB中，；由△PAB≌△PCB，则CN⊥PB；CN＝AN在△ACN中，；故平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．如图，已知椭圆，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2．（1）当时，求k2的值；（2）当时，求直线AB斜率的最小值．【答案】（1）k2＝1（2）最小值为1．【解析】（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），计算得到，得到答案.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y＝kx+m，（k＞0），联立方程计算得到，代入数据利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．所以直线PM的斜率；直线QM的斜率；此时．当时k2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，（k＞0）由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，即；所以；直线QB的方程为y＝﹣3kx+m．同理有：，，2，当且仅当，即时取等号；故直线AB的斜率的最小值为1．【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ，AH，计算得到答案.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则sin60，得HQ，设AH＝x，有，