2019-2020学年重庆市十一中、七中等七校高二上学期期末数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat2页共NUMPAGES\*MergeFormat28页2019-2020学年重庆市十一中、七中等七校高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．若：，，则（）A．：， B．：，C．：， D．：，【答案】A【解析】试题分析：通过全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题P：∀x∈R，cosx≤1，则￢P：∃x0∈R，cosx0＞1．故选A．【考点】全称命题；命题的否定．2．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直【答案】D【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.3．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线的离心率建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：椭圆的标准方程为，椭圆中的，，则，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线的离心率为，，则．在双曲线中，则双曲线的方程为，故选：．【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，属于基础题．4．已知命题，命题，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】解：由得，的一个充分不必要条件是，，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．5．如图，已知三棱锥的各条棱长均相等，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中点，连结，，则，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】解：取中点，连结，，三棱锥的各棱长都相等，为中点，，是异面直线与所成角（或所成角的补角），设三棱锥的各棱长为2，则，，．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．6．已知圆，直线，若圆上恰有4个不同的点到直线的距离都等于1，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于，代入点到直线的距离公式，可得答案．【详解】解：由圆的方程：，可得圆的圆心为原点，半径为若圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于，直线的一般方程为：，解得，即的取值范围为．故选：．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．7．设F1、F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．8 B．4 C．4 D．2【答案】C【解析】根据椭圆的定义和勾股定理，建立关于的方程，求得，结合直角三角形的面积公式，即可求得的面积.【详解】由椭圆，可得，则，设，由椭圆的定义可知：，因为，得，由勾股定理可得：，即，可得，解得，即，所以的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的定义和焦点三角形的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义和勾股定理，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由题意可得，，且两直线始终垂直，可得．由基本不等式可得，验证等号成立即可．【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，动直线即，令解得经过点定点，过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，有，．故（当且仅当时取“”故选：．【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及基本不等式求最值，属于中档题．9．过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且与准线交于点，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可得焦点，准线，设直线的方程为：，，联立直线与抛物线方程，消元，得，再根据求出，从而得到，从而得到.【详解】解：，焦点，准线，设直线的方程为：，联立直线方程得消去得过作轴，过作轴，，故选：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.10．已知四棱锥中，平面平面，为矩形，为等腰直角三角形，，，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】连结，交于，由，得外接球的半径，由此能求出四棱锥的外接球的表面积．【详解】解：取的中点，连接，连结，交于，连接，依题意可得，因为平面平面，平面平面，平面，，，是矩形，，为四棱锥的外接球的球心，且外接球的半径，四棱锥的外接球的表面积．故选：【点睛】本题考查面面垂直的性质，四棱锥外接球的表面积的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．已知双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线左支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点为，连接，作作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到，的关系，进而得到渐近线方程．【详解】解：解：设切点为，连接，作作，垂足为，由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，即双曲线的渐近线方程为．故选：．【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．12．如图，，，是由直线引出的三个不重合的半平面，其中二面角大小为60°，在二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，.记椭圆，的离心率分别为，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设，在平面内的投影为，平面内的投影为，设，则，根据锐角三角函数表示出，，再利用三角恒等变换及三角函数的性质求出取值范围.【详解】解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设，在平面内的投影为，平面内的投影为，设，则则，所以，即故选：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，三角恒等变换及三角函数的性质，属于难题.二、填空题13．直线与直线平行，则的值为_________.【答案】－2【解析】利用两条直线平行的充要条件即可得出．【详解】解：直线化为：．直线和直线平行，则，．故答案为：．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【答案】【解析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：故答案为：【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．15．抛物线上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为________.【答案】3【解析】利用抛物线的定义，求得的值，过作于抛物线的准线，交准线于点，准线交轴于点，由抛物线的定义可知，即可得解.【详解】解：由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，抛物线方程：，过作于抛物线的准线，交准线于点，准线交轴于点，如图所示圆圆心为，半径为，由抛物线的定义可知，当且仅当在坐标原点，在圆与轴的左交点时取最小值.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义的应用，转化思想，属于中档题．16．已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为的小球缓慢放入容器中，若小球能完全淹入水里，则的取值范围是_________．【答案】【解析】找出临界条件，计算出最大值即可求出范围，临界条件为小球与正方体的三个面及大球均相切，作出对应图象的轴截面图，利用相应的关系建立条件关系，即可求球的半径．【详解】解：根据题意临界条件为小球与正方体的三个面及大球均相切，如图所示设大球的球心为，正方体的棱长为，正方体的内切球的半径，正方体的体对角线为，设小球球的半径为，作出对应的轴截面图如图：则，且，，即，，．故故答案为：【点睛】本题主要考查空间正方体与球的内切问题，根据条件建立球半径之间的关系是解决本题的关键，属于难题．三、解答题17．已知点点两点.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线与圆交于两不同点，求线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意可得圆心的坐标，再求出圆的半径即可；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用弦心距、弦长与圆的半径的关系列式求得的长度.试题解析：（1）由题意圆心为中点，所以半径所以圆的方程为；（2）圆心到直线的距离所以，所以18．如图：三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题设证明平面，可得，再由已知可得，得，即，结合线面垂直的判定得平面，从而得到平面平面；（2）依题意可知：直线，，两两垂直，以为原点，建立如图所示坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值.【详解】解：（1）证明：三棱柱侧棱垂直于底面面，故，，面，面，面，面，为中点，在中，,面，面，面，面，面面（2）依题意可知：直线，，两两垂直以为原点，建立如图所示坐标系设，，，，，，，，设面的法向量为即取，所以与面所成角的正弦值【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决线面角的计算，属于中档题.19．如图：在四棱锥中，已知底面是菱形且，侧棱，为线段上的中点，为线段上的定点.（1）求证：平面；（2）若，，，且直线平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意可得，设，则，再在三角形中利用余弦定理求出即可证明，从而得证；（2）连接交与，连接交于，连接，则，计算得出到平面的距离，则．【详解】（1）证明：，为中点，四边形为菱形，，设，则，在中，由余弦定理得，，即，平面，平面平面（2）是等腰三角形，，，，，连接交与，连接交于，连接，平面，平面，平面平面，，，四边形是菱形，，，，，到平面的距离．．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．20．抛物线上的点到点的距离与到轴距离之差为1，过点的直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，，由题意列式求得，可得抛物线方程；（2）设，，，，由（1）知，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，列出韦达定理，由代入求解，则直线的方程可求．【详解】解：（1）设，依题意有：故抛物线方程为：（2）因为，设直线的方程为：，，消去得设，，解之可得：所以直线的方程为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．21．如图：多面体中，四边形为矩形，二面角为60°，，，，，．（1）求证：平面；（2）线段上一点，若锐二面角的正弦值为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明面面，从而得到面.（2）由题意知：，，则即为二面角的平面角，因为，，两两垂直，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示直角坐标系，设，利用空间向量法求二面角从而得到方程解得.【详解】（1）证明：四边形为矩形，，面，面，平面，，面，面，面，，面，面面，面，面（2）解：由题意知：，，即为二面角的平面角，，面，在平面上过作，，，两两垂直，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示直角坐标系设，，面，面法向量设面法向量为，，得令得，，解之可得：，（舍），【点睛】本题考查线面关系的证明，已知二面角求其他量，关键是空间向量法的应用，属于中档题.22．已知椭圆，离心率为，点在椭圆上，且的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方