2023届黑龙江省哈尔滨市高三年级下册学期最后一模考试数学试题【含答案】

一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．RA【分析】根据直线位置关系判断即可.【详解】因为直线与平行，所以.故选：A2．已知是关于方程的一个根，则（

）A． B．C． D．B【分析】将代入方程，然后利用复数相等列方程组可解.【详解】因为是关于方程的一个根，所以，即，所以，解得.故选：B3．如图，已知的半径为2，，则（

）

A．1 B．-2 C．2 D．C【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.故选：C4．已知，则（

）A．－ B．－3 C．1 D．A【分析】根据二倍角公式，将齐次分式转化为的方程，再利用两角和的正切公式化简求值.【详解】，解得：，.故选：A5．若曲线在原点处的切线与直线垂直，则实数a的值是（

）A．3 B． C．1 D．0D【分析】利用导数求出在原点处的切线斜率，然后根据直线的垂直关系可得.【详解】因为，所以，因为曲线在原点处的切线与直线垂直，所以直线的斜率不存在，即.故选：D6．如图甲（左），圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙（右），在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（

）A．50 B．55 C．60 D．70C【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可.【详解】由题意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，故选：C7．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（

）A． B． C． D．C【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解.【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由与相似，可得，则，所以圆柱的体积为，所以圆柱的最大体积为，此时.故选：C.8．已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（

）A． B．C． D．C【分析】由圆的性质可得，设，结合两点距离公式和二次函数性质求的最小值，可得结论.【详解】圆的圆心的坐标为，半径，因为是圆上一点，所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，因为是抛物线上一动点，设点的坐标为，则，当时，取最小值，最小值为，所以，当且仅当点的坐标为，且点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为，故选：C.二、多选题9．已知函数，其中x和的部分值如下表所示，则下列说法正确的是（

）x0A． B． C． D．BC【分析】根据所给数据代入三角函数解析式，由余弦函数性质先求出，再求出判断AB，由解析式求值判断CD.【详解】，，，，，，或，（无解舍去），由，解得，故B正确；，故A错误；，，故C正确；，故D错误．故选：BC10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，，，下列结论正确的有（

）A． B．C． D．BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A：因为，故A错误；对于B：因为，故B正确；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：由上可得，又因为，故D错误，故选：BC．11．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（

）A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为BD【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得，又平面，所以平面，在中，，边上的高为，所以，故A错误；对于B，在中，，，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；对于C，，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；由B选项知，，则，所以的外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，又因为平面，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选：BD.12．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的取值范围为C．为奇函数D．方程仅有3个不同实数解BC【分析】根据，推导出，所以的周期为8，可判断A；根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围，可判断B；根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数，可判断C；画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数，可判断D.【详解】因为，所以，因为，故，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以因为，所以，因为时，，所以，故，A错误；当，，所以，当，，，所以，综上：当时，的取值范围为，B正确；因为，所以关于对称，故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；画出与的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误.故选：BC三、填空题13．设公比为5的等比数列的前项和为，若，则__________.504【分析】根据等比数列求和公式求出，即可得解.【详解】因为，所以.故14．若，，则______.【分析】根据赋值法，分别令，求解可得.【详解】令可得：，再令可得：，所以.故四、双空题15．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是___；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是___.乙数学【详解】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.五、填空题16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，.若关于直线的对称点P恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率为______./【分析】根据，，利用斜率公式列方程组求得P点坐标，代入椭圆方程构造齐次式可解.【详解】由题知，，，设，记直线与交于点Q，由题知Q为的中点，又O为的中点，所以，所以...①，又，所以...②，联立①②解得，代入椭圆方程得，将代入上式，整理可得，即，解得或（舍去），所以.故

六、解答题17．在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．(1)求证：△为等腰三角形；(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．条件①：△的面积为；条件②：△的周长为20．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明；（2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得；选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得.【详解】（1）因为，由余弦定理可得：，又，设，则，解得（舍）或，故△为等腰三角形，即证.（2）选①：△的面积为，由，可得，又，故，则，又，故可得，又，则，因为AC边上的高为h，故，故可得；选②：△的周长为20，则，即，结合可得，由，可得，又，故，则，即，解得.综上所述，选择①②作为条件，均有.18．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC．(1)证明：；(2)若E为的中点，直线与平面所成的角为45°，求直线与平面所成的角的正弦值．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面ABC即可推理作答.（2）由给定的线面角求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面的正弦作答.【详解】（1）如图，在三棱柱中，取AC的中点D，连接BD，因为是等边三角形，则，又平面ABC，平面平面ABC，平面平面，则平面，而平面，于是，又，，平面ABC，因此平面ABC，又平面ABC，则，于是，所以.（2）取AB的中点F，连接CF．由（1）得平面ABC，又，所以是直线与平面ABC所成的角，即，，由（1）知，CF，AB两两互相垂直，以C为坐标原点，直线CF为x轴，过点C且平行于AB的直线为y轴，直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.19．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人。(1)求前位抽奖人抽中金蛋人数的分布列和方差；(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？(1)分布列见解析；(2)抽奖人应改变选择【分析】（1）利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布方差公式可求得方差；（2）分别计算改变选择和不改变选择所获得奖金数的数学期望，根据数学期望值的大小关系可得到结论.【详解】（1）由题意知：抽中金蛋人数服从于二项分布，即，即所有可能的取值为，；；；；的分布列为：中奖人数的方差.（2）若改变选择，记获得奖金数为，则可能的取值为，则，，改变选择时，获得奖金数的数学期望；若不改变选择，记获得奖金数为，则可能的取值为，则，，不改变选择时，获得奖金数的数学期望；，抽奖人应改变选择.20．已知Q：,,…,为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,,,…,,使得,则称Q为m连续可表数列.(1)判断是否为7连续可表数列？是否为8连续可表数列？说明理由；(2)若Q：,,…,为8连续可表数列,求证：k的最小值为4.(1)Q是7连续可表数列,但不是8连续可表数列,理由见详解.(2)证明见解析【分析】（1）根据连续可表数列的定义逐一检验即可；（2）当时,利用定义确定数列的最大项和最小项,然后根据定义证明即可,当时,取.然后验证其为8连续可表数列可证.【详解】（1）若.因为,所以对任意的,在Q中存在,,,…,,使得,故Q为7连续可表数列；因为,,所以不存在连续项之和等于8,故Q不是8连续可表数列.（2）若Q：,,…,为8连续可表数列,则数列Q中必存在元素1,显然不满足；若,因为必存在连续项之和等于8（包括1项）,所以Q中另一个元素必为7或8,显然此时不存在连续项之和等于2,不满足；若,因为必存在连续项之和等于2（包括1项）,所以Q中必含两个1或一个1一个2,又因为必存在连续项之和等于8（包括1项）,所以Q中另一个元素必为5或6或7或8,此时不存在连续项之和等于4（包括1项）,不满足；若,可取.此时,所以Q为8连续可表数列,综上,若Q：,,…,为8连续可表数列,k的最小值为4.21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)(2)存在，【分析】（1）根据椭圆离心率、通径长、列方程即可求得的值，从而求得椭圆方程；（2）设，，，直线，联立直线与椭圆得交点坐标关系，利用数量积的坐标运算，检验是否为定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，①将代入椭圆方程得：，解得，所以，②又，③综合①②③解得：，，，所以椭圆M的方程为．（2）存在．设，，，直线，

联立方程：，得，所以，，，，，当，即时，为定值，所以存在点，使得为定值．22．已知函数，.(1)