求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理一、恰当微分方程与积分因子1、对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)则称方程(1)为恰当微分方程。容易得到方程(1)的通解为u(x,y)=c(这里的c为任意常数)。可是若(1)不是恰当微分方程，如果存在连续可微的函数u=u(x,y)工0,使得u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程(1)的积分因子。2、恰当微分方程的判定对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0它为恰当微分方程的必要条件为：二、几种常见的积分因子的类型及求法1、 存在只与x有关的积分因子0M—6N充要条件：创n%=屮(x)形式：u=eW(x)dx2、 存在只与y有关的积分因子

dM~dN(1)充要条件：可庐(y),teW(y)dy(2)形式:、Jy的函数。3、方程(1)有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件:这里的屮(x)e(y的函数。3、方程(1)有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件:例L求解方程（%3+xy2十％+y）dx—（戈―y）dy=0o解：公式中的Mg』）=%+xy2+%■+y5川（事刃=y-A:凤第=2矽+—鴛=-16（血巒丿 -2-2xy -1-肩2+却+劭）-x2+y2°丿(2yM-2加艸)血"因此丿(2yM-2加艸)血"exp[一ln(^+/)]对方程两边同乘p(算』)=FCx2+y2)=j皿供先吩i+—ln(x+—ln(x2+/)-Farctan%yME为常数九1~2X4、方程(1)有形如u［p(x)+f(x)g(y)+q(y)］的积分因子，充要条件:<?M乙r>12。｝jO斗「G)]+f(^)g(y)+g(y》]它的积分因子为：尸(工)=expF©(zjd龙］这里的O是帛=旅工)+十(工〉宮Qy)十q(》)的函数.5、方程(1)有形如u［f(x)g(y)+q(y)］的积分因子，充要条件：£M_3N”83几工)］厂舊丁：：)”®十『(刃］=札只工)烈$)+牡0］它的积分因子为：JX中这里拭宅)是疋=/(+qCy)的函数条件：6、方程(1)有形如的积分因子，充要

条件：3M_dN—Mqf（y}+ yl— "札护>+pS+q（y>y其中勲T；址■匸"¥〔—f"：•八-f：flW雨数jpg〉是超—工少的函数7、方程（1）有形如…八"：的积分因子，充要条件:3M3N札爭g_yJ+©3]它的积分因子为：其中这里的/（占）=甲（兀V）+q（y}，护（引）是玄1=0$'的函数9MJN8、方程有形如 门的积分因子，充要条件:9MJNN扩〔E）q（W—MpCx'）q（y）+/〔釣JExNx^y一出心®〒】］它的积分因子为：弹（宜）=exp［0（琴］・其中这里的m 汀厂「「八门屮*荷附数卩（工】）是石=才w的函数.结束语：对于一阶微分方程，不同的形式有不同的积分因子，积分银子一般不会太容易求得，很多时候需要根据方程的特点进行判断，以上的一些情况是参考了一些文献后，整理而得到的一些特殊情况，对求解一些特殊方程有很大的帮助。参考文献：1、新丽、王建新.一类积分因子存在的充要条件.科学与技术工程.第11卷.第16期.2011.6