2022-2023学年广东省揭阳市龙潭中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年广东省揭阳市龙潭中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为（）A． B．32π C．64π D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选：D．2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2

B．2∶3C．3∶4 D．1∶3参考答案：C3.将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）? B．（﹣，）? C．（﹣，）?? D．（﹣，）?参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为，k∈z，当k=0时，可得函数在区间（﹣，）单调递增．故选：A．4.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为

(A)96

(B)136

(C)152

(D)192参考答案：C略5.若=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣b等于（）A． B．1 C．0 D．﹣1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：===a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），∴a=﹣，b=．则a﹣b=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是A.

B.

C.[-2,2]

D.参考答案：D根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴?（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，?（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，?（+）取得最小值﹣2，∴?（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．

7.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为()．A．a<b<c

B．b<c<a

C．c<a<b

D．a<c<b参考答案：C8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A．36 B．24 C．72 D．144参考答案：C解：根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有种，故选：．9.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.函数的值域是（）A.

B．

C．

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是

.参考答案：①②④12.在△ABC中，若，则的大小为_________.参考答案：

略13.已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则的最小值为．参考答案：﹣【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．【解答】解∵椭圆=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程为x﹣2y+2=0，设P（m，n），则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．14.对于下列命题：①在中，若，则为等腰三角形；②在中，角的对边分别为，若，则有两组解；③设，，，则；④将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.

其中正确命题的编号是

.（写出所有正确结论的编号）参考答案：③④15.在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出的结果是

参考答案：286略16.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是

．参考答案：17.已知实数x，y满足条件，（k为常数），若得最大值为8，则k=

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

参考答案：解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为………………4分（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………8分（Ⅲ），，第二同学的实验更稳定………12分略19.已知为正的常数，函数。（1）若，求函数的单调增区间；（2）设，求函数在区间上的最小值。参考答案：解：（1）由，得，当时，，，由，得，解得，或（舍去）当时，；时，；∴函数的单调增区间为；

…………2分Ks5u

当时，，，由，得，此方程无解，∴函数在上为增函数；…4分∴函数的单调增区间为，。

…………5分（2），，①若时，，则，∵，∴，∴，，∴∴在上为增函数，∴的最小值为；

…………8分②若时，则，则，令，则，所以在上为减函数，则；所以在上为减函数，的最小值为；

………11分③当，，由①②知在上为减函数，在上为增函数，Ks5u

∴的最小值为，

…………13分Ks5u

综上得的最小值为。

…………14分略20.已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：＞．参考答案：（Ⅰ）解：，由是的极值点得，即，所以．

………………２分于是，，由知在上单调递增，且，所以是的唯一零点．

……………４分因此，当时，；当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增．

……６分（Ⅱ）证法一：当，时，，故只需证明当时，＞．

………………８分当时，函数在上单调递增，又，故在上有唯一实根，且．

…10分当时，；当时，，从而当时，取得最小值且．由得,．

…………………12分故.又==．综上，当时，．

…………14分证法二：当，时，，又,所以．

………８分设函数，，当时，；当时，，，所以在单调递减，在单调递增，故函数在时取唯一的极小值即最小值为．

……………12分所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞．

…………………14分略21.在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A满足2cos2A+cos（2A+）=﹣．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若c=3，△ABC的面积为3，求a的值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简2cos2A+cos（2A+）=﹣，结合A的取值范围，即可求出A的值；（Ⅱ）根据△ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2A+cos（2A+）=﹣，∴2?+cos（2A+）=﹣，即1+cos2A+cos2Acos﹣sin2Asin=﹣，∴sin2A﹣cos2A=，∴sin2A﹣cos2A=，即sin（2A﹣）=；又△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，解得A=；（Ⅱ）c=3，且△ABC的面积为S△ABC=bcsinA==3，解得b=4；由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=42+32﹣2×4×3×=13，解得a=．22.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析