福建省福州市师大中学2021年高三数学理期末试卷含解析

福建省福州市师大中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，则（A） （B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】A

解析：,,选A【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求.2.已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是A．m≥4或m≤－2

B．m≥2或m≤－4

C．－2＜m＜4

D．－4＜m＜2参考答案：D3.已知集合，集合，集合.命题，命题，（I）若命题为假命题，求实数的取值范围；（II）若命题为假命题，求实数的取值范围.参考答案：略4.已知变量x、y满足条件则的最大值是(

)A.2

B.5

C.6

D.8参考答案：C5.若集合，则集合A、

B、

C、

D、R参考答案：【知识点】函数的定义域；集合.A1,B1【答案解析】C解析：解：由题意可知，所以C选项正确.【思路点拨】先根据集合的概念求出集合中元素的范围，再求出交集.6.已知是定义在R上的偶函数,且,当时,,若在区间（－2,6）内关于x的方程（且）有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是（）A．B．（1,4）C．（1,8）D．（8,+∞）参考答案：D7.若，，那么下列不等式中正确的是 参考答案：因为，则，于是，故选.8.设变量满足约束条件，则的最小值为

A.-2

B.-4

C.-6

D.-8参考答案：A略9.设，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是（

）A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力B．乙的创造力优于观察能力C．甲的六大能力整体水平优于乙D．甲的六大能力中记忆能力最差参考答案：C由图示易知甲的记忆能力指标值为，乙的记忆能力指标值为4，所以甲的记忆能力优于乙，故排除；同理，乙的观察能力优于创造力，故排除；甲的六大能力中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指标值的平均值为，乙的六大能力指标值的平均值为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是

。

参考答案：

略12.已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为______________．参考答案：13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

．参考答案：414.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．参考答案：20【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．15.图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入，则输出

．参考答案：22

略16.已知球O的体积为36π，则球的内接正方体的棱长是

．参考答案：【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．【解答】解：∵球的体积为36π∴球的半径为3∵球的内接正方体的对角线为球的直径∴球的内接正方体的对角线长为6设球的内接正方体的棱长为a，则a=6∴a=2故答案为：2．【点评】本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．17.已知面积为的中，．若点为边上的一点，且满足，则当取最小时，的长为．参考答案：根号下3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.（1）当时，有2个零点，求a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）分离参数构造新函数，求导求最值即可得的取值范围（2）不等式，得，构造函数，求导讨论a的正负确定函数的最值即可求解【详解】（1）时，由得，令，则，时，，时，.∴在上是增函数，在上是减函数，又，，，∴当时，在上有2个零点，∴.（2）因为不等式即为，得，设，则不等式等价于.从而，.当时，时，；时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时.由题意，若恒成立，则，即，解得.所以；当时，存在使得.故不可能满足恒成立.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．19.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为，（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M、N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的直角坐标为，，求a的值.参考答案：(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.(2)【分析】(1)由极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化直接求解即可；（2）将直线的参数方程代入，由韦达定理结合t的几何意义即可求解【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，由直线的参数方程得直线的普通方程为.（2）将直线的参数方程代入，化简并整理，得.因为直线与曲线分别交于、两点，所以，解得，由一元二次方程根与系数的关系，得，，又因为，所以.因为点的直角坐标为，且在直线上，所以，解得，此时满足，故.【点睛】本题考查极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化，直线参数方程，t的几何意义，准确计算是关键，是基础题20.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）……………3分由得：所以，在上的单调递减区间为………6分（Ⅱ），则，，，………8分向量与向量共线，，由正弦定理得，…………………10分由余弦定理得，，即

………………………12分

略21.已知向量，其中a＞0且a≠1，（1）当x为何值时，；（2）解关于x的不等式．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x的值．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．【解答】解：（1）因为，得a2x﹣a2=0，即a2x=a2．所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，．（2）∵，∴，∴．所以a2x﹣a2＜0，即a2x＜a2．当0＜a＜1时，x＞1，当a＞1时，x＜1．综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，+∞）；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1）．（14分）【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．22.已知函数.（1）试判断函数的单调性；

（2）设，求在上的最大值；(3)试证明：对任意，不等式都成立（其中