山东省菏泽市关心下一代协会高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析

山东省菏泽市关心下一代协会高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B由题意，对应点为，在第二象限．

2.已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．3.P是双曲线C：=1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|=2，∴|PF1|=|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y=x，F2（），F2到l的距离d=1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故选D．4.命题“存在x∈（0，+∞），使得lnx＞x﹣2”的否定是（）A．对任意x∈（0，+∞），都有lnx＜x﹣2 B．对任意x∈（0，+∞），都有lnx≤x﹣2C．存在x∈（0，+∞），使得lnx＜x﹣2 D．存在x∈（0，+∞），使得lnx≤x﹣2参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题推出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x∈（0，+∞），使得lnx＞x﹣2”的否定：对任意x∈（0，+∞），都有lnx≤x﹣2．故选：B5.已知为锐角，，则y关于x的函数关系为（

）A．

B。C．

D。参考答案：答案:A6.如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（

）A.

B. C.9

D.6参考答案：C7.f（x）=sinωx+cosωx，x∈R，f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值为，则正数ω=(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得，|α﹣β|的最小值为==，由此求得正数ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），x∈R，f（α）=﹣2，f（β）=0，故|α﹣β|的最小值为==，则正数ω=，故选：B．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象特征，属于基础题．8.已知为两个非零向量，集合，集合，则是A=B的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件参考答案：B略9.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(

)参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象在处的切线斜率为－4，则a=______．参考答案：4【分析】先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【详解】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.故答案为：4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．12.已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为

．参考答案：【知识点】三角函数的定义；两角和与差的三角函数.

C1

C5【答案解析】

解析：设则,所以=，所以的最大值为.【思路点拨】利用以原点为圆心的圆上点的坐标，与过此点的半径所在射线的和x轴的正半轴所成的角的关系，得关于的函数，求此函数的最大值即可.13.，则的最小值为

.参考答案：6

略14.（5分）（2015?嘉峪关校级三模）已知函数f（x）=xsinx+cosx，给出如命题：①f（x）是偶函数；②f（x）在上单调递减，在上单调递增；③函数f（x）在上有3个零点；④当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立；其中正确的命题序号是．参考答案：①④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：①利用偶函数的定义判断；②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；③研究极值、端点处的函数值的符号；④转化为f（x）﹣（x2+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可．解：对于①，显然定义域为R，f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x）．所以函数为偶函数，所以①为真命题；对于②，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；对于③，令f（x）=0，所以，做出y=及y=﹣tanx在上的图象可知，它们在上只有两个交点，所以原函数在有两个零点，故③为假命题；对于④，要使当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立，只需当x≥0时，f（x）﹣x2﹣1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx﹣x2﹣1≤0恒成立，而y′=xcosx﹣2x=（cosx﹣2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在上的最大值．【题文】（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【答案】【解析】【考点】：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】：计算题；转化思想．【分析】：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）【点评】：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．15.已知Sn是数列{an}的前n项和，向量=．参考答案：【考点】等差数列的性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由已知中向量，且，结合两向量垂直数量积为0，我们易得到4（an﹣1）﹣2Sn=0，利用数列的性质我们易判断数列{an}是一个等比数列，代入数列前n项和公式，即可得到效果．【解答】解：∵向量，且∴4（an﹣1）﹣2Sn=0∴an=2an﹣1即数列{an}是以2为公比的等比数列则==故答案为：【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，数量积判断两个向量的垂直关系，其中利用两向量垂直数量积为0，得到4（an﹣1）﹣2Sn=0，是解答本题的关键．16.我们可以利用数列的递推公式（）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_______项.参考答案：略17.已知，则不等式的解集为

．参考答案：【知识点】分段函数的性质；一元二次不等式的解法。E3

【答案解析】

解析：由，可得或，解得，所以原不等式的解集为．【思路点拨】把原不等式转化为不等式组，再求并集即可。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）＝|3x﹣2|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的最小值．

参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）-2.【分析】（Ⅰ）利用零点分段法去掉绝对值，得到不等式，进而可得解；（Ⅱ）利用零点分段法去掉绝对值，进而可求函数的最值．【详解】解：（Ⅰ）①当x＜时，2﹣3x+x﹣3≥4，解得x≤﹣；②当≤x≤3时，不等式可化为3x﹣2+x﹣3≥4，解得x，∴≤x≤3；③当x＞3时，不等式可化3x﹣2﹣x+3≥4，即得x＞，∴x＞3综上所述：不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}；（Ⅱ）g（x）＝|3x﹣2|﹣|x﹣3|+|3x+2|﹣|x+3|①当x＜﹣3时，g（x）＝﹣4x＞12；②当﹣3≤x＜﹣时，g（x）＝﹣6x﹣6＞﹣2；③当﹣≤x＜时，g（x）＝﹣2；④当≤x＜3时，g（x）＝6x﹣6≥﹣2；⑤当x≥3时，g（x）＝4x≥12综上所述：g（x）的最小值为﹣2．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和最值问题．较为基础.19.已知函数的图象在点(1,1)处的切线方程为．（1）当时，证明：；（2）设函数，当时，证明：；（3）若数列{an}满足：，，．证明：．参考答案：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可求，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求的范围；（2）先对求导，结合导数及（1）的结论可求函数的范围，即可证；（3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证．【详解】解：（1）由题知：，所以，所以，令，则，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减；所以，即所以在区间上单调递减，所以又因为，所以，所以综上知：当时，（2）由题意，因为所以由（1）知：在区间上单调递减，所以，又因为当时，所以，在区间上单调递增，所以由（1）可知：，又，∴综上可知：（3）由（1）（2）知：若，，若，因为，∴，，所以，，当时，当时，所以，从而【点睛】本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于难题．20.

如图，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求四面体的体积．参考答案：（1）证：取的中点,连接、，则为中位线，又故四边形是平行四边形,即面；面面（2）解：，面面且交于面，即就是四面体的高，

…………12分略21.已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4；（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；