湖南省长沙市燕子岭学校2021年高二数学理期末试卷含解析

湖南省长沙市燕子岭学校2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】平面向量及应用． 【分析】设与的夹角为θ，根据⊥（），则有（）=0，利用向量的运算性质，即可求出cosθ=﹣，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案． 【解答】解：设与的夹角为θ， ∵⊥（），则（）=0， ∴||2+=0，即||2+||||cosθ=0， 又∵||=3，||=2， ∴32+3×2cosθ=0，则cosθ=﹣， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=， 故与的夹角为． 故选：D． 【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π]，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．两个向量互相垂直，则其数量积为0．属于中档题． 2.袋中有红色、黄色、绿色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.将8分为两数之和，使其立方之和最小，则分法为(

)A．2和6

B．4和4C．3和5

D．以上都不对参考答案：5.如图，AB是半径为2的圆O的弦，CD是圆O的切线，C是切点，D是OB的延长线与CD的交点，CD∥AB，若CD=，则AC等于(

) A． B． C．1 D．2参考答案：B考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：连接OC，则OC⊥CD，利用CD∥AB，可得OC⊥AB，AC=BC，利用余弦定理求出BC，即可得出结论．解答： 解：连接OC，则OC⊥CD，∵CD∥AB，∴OC⊥AB，∴AC=BC，△OCD中，OC=2，CD=，∴OD=3，∴BD=1，cos∠D=，∴BC==，∴AC=，故选：B．点评：本题考查圆的切线的性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．6.下列命题错误的是(A)命题“若lgx=0，则x=l”的逆否命题为“若x≠1，则lgx≠0”(B)命题“若x>2，则”的否命题是“若x>2，则”(C)双曲线的渐近线方程为(D)若为假命题，则p与g中至少有一个为假命题．参考答案：B7.如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦MN的长度超过R的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．8.数列{an}满足an+1=（﹣1）n?an+n，则{an}的前100项的和S100（）A．等于2400 B．等于2500 C．等于4900 D．与首项a1有关参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】；；；所以a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=a4n﹣1+（﹣a4n﹣1+4n﹣1）+（﹣a4n﹣1+8n﹣3）+（a4n﹣1﹣4n）=8n﹣4．发现{a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n}是一个首项为4，公差为8的等差数列．【解答】解：，；；；所以a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=a4n﹣1+（﹣a4n﹣1+4n﹣1）+（﹣a4n﹣1+8n﹣3）+（a4n﹣1﹣4n）=8n﹣4．发现{a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n}是一个首项为4，公差为8的等差数列，于是．故选：B．9.将标号分别为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为（

）A．150

B．180

C.240

D．540参考答案：A分析：先将5个小球分为1,1,3和1,2,2两类，然后再进行分配可得结果．详解：①若5个小球分为1,1,3三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为种；②若5个小球分为1,2,2三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为种．所以由分类加法计数原理可得不同的分法有60+90=150种．故选A．

10.已知，，，若，则的夹角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率．参考答案：12.已知某程序的框图如图，若分别输入的的值为0，1，2，执行该程序后，输出的的值分别为，则

.

参考答案：613.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存．参考答案：在三角形的外角至多有一个钝角【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是：存在三角形的外角至多有一个钝角．故答案为：存在三角形的外角至多有一个钝角．14.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】求出所有的基本事件个数和符合要求的事件个数，代入古典概型的概率公式即可．【解答】解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次共有6×6=36个基本事件，其中恰有一个点数为2的事件共有10个，分别是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），∴恰有一个点数为2的概率P==．故答案为．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．15.原点和点（1，1）在直线两侧，则的取值范围是_________.参考答案：略16.平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知给出的两个向量，不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所以，由有解，利用判别式大于等于0可求|的范围．【解答】解：由题意可知向量不共线，则，所以，由，且平面向量为非零向量得：．故答案为（0，]．【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为方程有解，是中档题．17.设α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tan2α=．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，∴x＜0，再根据=，∴x=﹣3，∴tanα==﹣，则tan2α===，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．参考答案：19.（12分）设R，函数，其中e是自然对数的底数．讨论函数在R上的单调性；参考答案：解：

∵,

以下讨论的取值情况：①当时，，∴在R上是减函数；②当时，有两个根1和1-a，其中1-a<1，函数在和上是减函数，在上是增函数．③当时，有两个根1和1-a，其中1-a>1，函数在和上是减函数，在上是增函数．20.（本小题满分12分）（1）求证：；（2）已知函数f（x）=+，用反证法证明方程没有负数根.参考答案：（1）证明：要证

只需证

只需证

即证

只需证

只需证

即证

上式显然成立，命题得证。

……

6分（2）证明：设存在x0＜0（x0≠－1），使f（x0）=0，则e=—由于0＜e＜1得0＜—＜1，解得＜x0＜2，与已知x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根。………12分略21.设集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.参考答案：略22.已知函数f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与y垂直，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；（2），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【详解】（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，∴f'（2）＝0，即．（2）∵，①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1