江西省赣州市石湫中学高三数学理期末试卷含解析

江西省赣州市石湫中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知函数，如果，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知i为虚数单位，则复数=(

) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答： 解：=，故选：C．点评：本题考查复数复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4.已知为实数，条件p：，条件q：，则p是q的(

)

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B由得。由得。所以p是q的必要不充分条件，选B.5.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【详解】令，则，可设，∵，∴．∴，∴．可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．，，，．∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．故的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6.设集合，，则（

）

（A） （B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】A

解析：,,选A【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求.7.函数的图象大致是（

）

参考答案：A略8.已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：A9.若函数是偶函数，则的最小正实数值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为(

)A．4

B．

C．

D．2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.袋中有若干个小球,分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，则得到白球的概率

.参考答案：12.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点，则如图四个图象可以为y=f（x）的图象序号是

（写出所有满足题目条件的序号）．参考答案：①②③【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：因为[f（x）ex]′=f′（x）ex+f（x）（ex）′=[f（x）+f′（x）]ex，且x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点，所以f（﹣1）+f′（﹣1）=0；对于①②，f（﹣1）=0且f′（﹣1）=0，所以成立；对于③，f（﹣1）＜0，且a＜0，﹣＜﹣1，得2a﹣b＜0，即b﹣2a＞0，[来源:Zxxk.Com]所以f′（﹣1）＞0，所以可满足f（﹣1）+f′（﹣1）=0，故③可以成立；对于④，因f（﹣1）＞0，f′（﹣1）＞0，不满足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，故①②③成立．故答案为：①②③【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．13.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF?平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．14.已知函数.（1）若a=0，x∈[0，4]，则f（x）的值域是

；（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1]；（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】（1）求出f（x）在[﹣4，4]上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域；（2）对x讨论，分别求出f（x）的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．（2）当x≤1时，令f（x）=0得x=2a或x=a，当x＞1时，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），∵f（x）恰好有三个解，∴，解得a＜0．故答案为：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．15.实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=_______．参考答案：解：令x=rcosθ，y=rsinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．∴+=+=．16.已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为．参考答案：0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，从而可得g（x）在其定义域上单调递增；再由g（0）=0+1=1，从而判断．【解答】解：∵g（x）=xf（x）+1，∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，故g（x）在其定义域上单调递增；∵y=f（x）为R上的连续可导函数，∴函数g（x）=xf（x）+1在R上连续；又∵g（0）=0+1=1，∴函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0；故答案为：0．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．17.若双曲线的离心率为，则实数m=_________.参考答案：2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率；

（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，分别求出，，，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为在第二天接种后当天出现症状的概率为：能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为：，∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则；随机变量可能的取值为1，2，3，则；所以的分布列为123

随机变量的数学期望为：【点睛】本题考查（1）相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式（2）随机变量的分布列及数学期望，考查计算能力，属于中等题型.19.已知函数f（x）=b?ax（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）（1）试求a，b的值；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数f（x）=b?ax，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），知，由此能求出f（x）．（2）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，则y=g（x）在R上是减函数，故当x≤1时，g（x）min=g（1）=．由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=b?ax，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），∴，解得a=2，b=4，∴f（x）=4?（2）x=2x+2，（2）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，y=g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min=g（1）=．若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，即m≤【点评】本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.已知函数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若对恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明：参考答案：Ⅰ见解析ⅡⅢ证明见解析【分析】Ⅰ求导后讨论的取值范围进行分析即可Ⅱ参变量分离后有恒成立,再设函数求导分析最大值即可.Ⅲ先证：存在,使得,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可.【详解】Ⅰ函数的定义域为,当时,,函数在上单调递增；当时,令解得,令解得,故此时函数在上单调递增,在上单调递减；Ⅱ对恒成立,即为对任意的,都有,设,则,令,则,在上单调递减,且,当时,单调递增；当单调递减,,实数a的取值范围为．Ⅲ证明：当时,,不妨设,下先证：存在,使得,构造函数,显然,且,则由导数的几何意义可知,存在,使得,即存在,使得,又为增函数,,即,设,则,,,由得,,即【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.21.的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为。（1）求的方程；（2）过点的动直线交曲线于不同的两点，问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标，若不存在，说明理由。

参考答案：解：（1）设点，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故L的方程为

4分（2）设点由（I）可知

①当直线轴时点在轴上任何一点处都能使得成立

②当直线MN不与轴垂直时，设直线由得9分要使，只需成立即即

即

故,故所求的点Q的坐标为时使成立。略22.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标