山西省临汾市襄汾县陶寺乡联合学校2021年高三数学理模拟试题含解析

山西省临汾市襄汾县陶寺乡联合学校2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列为等差数列，若，，则A．36 B．42 C．45 D．63参考答案：C2.若i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（

）A. B. C. D.参考答案：D故的虚部为故选D3.设，那么（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.直线为参数），被圆截得的弦长为A、

B、

C、

D、参考答案：B略5.如图所示程序框图的输出的所有都在函数（）A、y＝x＋1的图象上B、y＝2x的图象上C、y＝的图象上D、y＝的图象上参考答案：D依程序框图可知输出的点为（1,1）、（2,2）、（3,4）、（4,8），结合选项可知选D.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C7.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），于点N，直线NF交y轴于点D，则（

）A.4 B. C.2 D.参考答案：B【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点的坐标，即可得点坐标，进而可求得的方程，容易得点的坐标，用两点之间的距离公式即可求得的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点，故直线的方程为，联立抛物线方程可得，解得或因为点在第一象限，故可得.又因为准线方程为，故可得.则直线的方程为，令，解得，即可得.故.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.8.等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故选：D．9.设，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略10.如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出，，这样便可以求出，这样根据，并进行向量的数乘运算便得到，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．【解答】解：根据条件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故选：A．【点评】考查向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=

．参考答案：﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．解答： 解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.参考答案：113.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,则三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面积是

；参考答案：14.定义在上的函数，满足，（1）若，则

.（2）若，则

（用含的式子表示）.参考答案：（1）；（2）略15.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点（在第一象限内），若以直径的圆的圆心在直线上，则此圆的半径为▲．参考答案：【知识点】抛物线及其几何性质H7如图，

由抛物线y2=4x，得其焦点F（1，0），

设P（，y0）（y0＞0），则PF的中点为（,）=（,），

由题意可知，点（,）在直线x+y=2上，+

∴+=2，解得：y0=2．∴P（1，2），则圆的半径为|PF|==1.故答案为：1．【思路点拨】由抛物线的方程求出焦点坐标，设出P的坐标，利用中点坐标公式求PF的中点，把中点坐标代入直线x+y=2求得P的坐标，再由两点间的距离公式求圆的半径．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，C=45°，1+=，则边c的值为

．参考答案：2考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：利用条件、同角三角函数的基本关系、正弦定理求得=，求得cosA的值，可得A的值，再利用正弦定理求得c的值．解答： 解：在△ABC中，∵1+=1+====，故有正弦定理可得=，∴cosA=，A=60°．再由a=2，C=45°，利用正弦定理可得=，即=，∴c=2，故答案为：2．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．17.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为__________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求三棱锥D﹣ABP的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）取AB中点O，连结OD，OE，通过证明AB⊥平面ODE，然后推出AB⊥DE．（2）利用等体积转化法，求解即可．【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结OD，OE，因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．因为四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面ODE，所以AB⊥DE．（2）解：=1，P为CE中点，则P到平面ABCD的距离为：．=．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（Ⅰ）求边长c和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin2A的值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出c，进而得出面积；（2）利用正弦定理可得：sinA．利用同角三角函数基本关系式即可得出cosA，再利用倍角公式即可得出．【解答】解：（1）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcos60°=22+32﹣2×2×3×=7，解得c=，∴．（2）由正弦定理，，则sinA===，∵a＜b，∴A为锐角，则cosA==，sin2A=2sinAcosA=×=．20.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：，，，，，，，，）参考答案：解：（Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，(Ⅱ)①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以的分布列为：1521541561581600.20.30.20.20.1所以，，所以的分布列为：1401521762000.50.20.20.1所以，，②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，,平面底面，为中点，M是棱PC上的点，．（1）若点是棱的中点，求证：平面；（2）求证：平面底面；（3）若二面角为，设，试确定的值．参考答案：证明：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M是棱PC的中点，∴MN//PA

∵MN平面MQB，PA平面MQB，

ks5u

∴PA//平面MBQ．

（2）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．

∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．

设，则，，∵，∴，

∴

，

ks5u在平面MBQ中，，，ks5u∴平面MBQ法向量为．

∵二面角M-BQ-C为30°，

，∴．22.已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N（n，f（n））的直线的斜率的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）法一：根据﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；法二：由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（3）求出函数f（x）的导数，求出a的范围，表示出直线MN的斜率，结合换元思想以及函数的单调性求出斜率k的范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣，∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，∴求出直线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2；（2）由题意得：0＜x≤2时，f（x）≤x，即﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，φ′（x）=﹣，（i）当a≥0时，φ′（x）＜0，不合题意，（ii）当a＜0时，①﹣∈（0，2）时，φ（x）在（0，﹣）上递增，在（﹣，2）上递减，φ（x）max=φ（﹣）=﹣2﹣