云南省曲靖市宣威市倘塘镇第二中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

云南省曲靖市宣威市倘塘镇第二中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于(

)A． B．16π C．8π D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD=×=，在直角三角形OAD中，AD=，OD==1∴OA==则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=故选：D．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．2.已知函数f（x）=ex﹣ln（x+a）（a∈R）有唯一的零点x0，则（）A．﹣1＜x0＜﹣ B．﹣＜x0＜﹣ C．﹣＜x0＜0 D．0＜x0＜参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】利用函数的零点以及方程的根的关系，通过函数的导数，二次导函数判断函数的单调性，利用函数的零点判定定理，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ex﹣ln（x+a）（a∈R），则x＞﹣a，可得f′（x）=ex﹣，f′′（x）=ex+恒大于0，f′（x）是增函数，令f′（x0）=0，则，有唯一解时，a=，代入f（x）可得：f（x0）===，由于f（x0）是增函数，f（﹣1）≈﹣0.63，f（）≈0.11所以f（x0）=0时，﹣1．故选：A．3.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知角的终边上有一点，则的最小值为

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B5.下列说法中不正确的个数是①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③若p：，q：，则为真命题．（A）3

（B）2

（C）1

（D）0参考答案：D6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A． B． C．﹣1 D．2参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出y的值是以3为周期的函数，当i=2014=671×3+1时终止循环，求出输出的y值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；y=2，i=1；y=1﹣=，i=2；y=1﹣=﹣1，i=3；y=1﹣=2，i=4；…；∴y的值是以3为周期的函数，则当i=2014=671×3+1时，终止循环，且输出的结果为y=2．故选：D．7.在等差数列中，=-2012，其前n项和为，若=2，则的值等于A.-2011

B.-2012

C.-2010

D.-2013参考答案：B设公差为，则，，由，所以，所以，，选B8.已知函数，若，则f（﹣a）=(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．解答： 解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．点评：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．9.a=1是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分又不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=1时，两直线方程分别为：x+2y﹣1=0和x+2y+4=0，满足直线平行．若两直线平行，则，即a（a+1）=2，∴a2+a﹣2=0，解得a=1或a=﹣2．满足条件，∴a=1是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：A．10.已知函数的单调递增区间为（

）

A．（0，1）

B．（-2，1）

C．（0，）

D．（，1）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是_______.参考答案：【分析】分别求出DC=BC=CE=2，BD=BF=2，求出∠DCE=90°，∠DBF，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案．【详解】过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，∵四边形ABCD是正方形，AB=2，∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=2，∠DCB=45°，由勾股定理得：BD=2，∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，∴∠DCE=90°，BF=BD=2，∠FBE=90°-45°=45°，∴BM=FM=2，ME=2，∴阴影部分的面积S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE-S扇形DBF=×2×2+×4×2+-=6-π，故答案为：6-π．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．12.设与是两个不共线的向量，已知，则当三点共线时，

．参考答案：13.是矩形，，，沿将折起到，使平面平面,是的中点，是线段上的一点，给出下列结论：①存在点，使得平面

②存在点，使得平面

③存在点，使得平面

④存在点，使得平面其中正确结论的序号是

.（写出所有正确结论的序号）参考答案：①②③．试题分析：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；②EF⊥AC，利用面面垂直的性质，可得EF⊥平面ABD′；③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②EF⊥AC，利用面面垂直的性质，可得EF⊥平面ABD′，正确；③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③．考点：面面垂直的性质14.已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为．参考答案：45°考点：直线与平面所成的角．

专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角．解答：解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0），=（﹣，﹣，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，∵=（1，﹣1，），=（，﹣1，0），∴∴可得平面CMN的一个法向量=（2，1，﹣2），设直线SN与平面CMN所成角为θ，∵sinθ=|cos＜，＞|=，∴SN与平面CMN所成角为45°．故答案为：45°．点评：本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．15.正数a，b，c满足，则的取值范围是______.参考答案：【分析】构造空间向量，，利用得到结论.【详解】令z=，则，又，记，，则，又，∴，即.【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算，考查了的应用，考查了分析问题、转化问题的能力，属于发散思维的综合性问题.16.函数的定义域是

．参考答案：略17.若实数，满足条件则的最大值为___________。参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，

AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.参考答案：【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD，由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.【思路点拨】利用线线平行证明线面平行利用线面垂直证明面面垂直。19.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围.参考答案：（1）∵f（x）=-10sinxcosx+10cos2x==10sin+5………………2分∴所求函数f（x）的最小正周期T=π所以函数f（x）在上单调递增…5分正确答案的不同表示形式照常给分。（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象…………8分所以当所以所以………………….12分20.（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．参考答案：已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．解：(Ⅰ)

3分∴的最小值为，最小正周期为.

………5分（Ⅱ）∵

，

即∵

，，∴，∴．

……7分∵

共线，∴．由正弦定理

，得

①9分∵，由余弦定理，得，解方程组①②，得．

略21.（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.参考答案：解：（1）由题意可知，，

……………1分而，

……………2分且.

……………3分解得，

……………4分所以，椭圆的方程为.

……………5分（2）.设，，

……………6分直线的方程为，令，则，即；

……………8分22.已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）的极大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数求得函数f（x）的最大值，令其为即可解得b的值即可；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣x（3x﹣2），令f′（x）＞0，解得：