湖南省益阳市大付中学高三数学理联考试题含解析

湖南省益阳市大付中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略2.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是(

)A．

B．

.

D．参考答案：B如图，在同一坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点.,选B3.已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别确定函数零点的大致范围，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选D．【点评】本题考查函数零点的定义，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键．4.曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程．【解答】解：由题意，，所以曲线过点（1，3）处的切线斜率为k=3﹣1=2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，故选C．【点评】本题考查曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程，考查导数的几何意义，比较基础．5.已知向量m，n满足m＝(2,0)，n＝(，)．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||等于()A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A6.已知定义在R上的奇函数满足：，且，若函数有且只有唯一的零点，则（

）A.1 B.－1 C.－3 D.3参考答案：C【分析】由结合为奇函数可得为周期为4的周期函数，则，要使函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，结合图像可得，即可得到答案。【详解】为定义在上的奇函数，，又，，在上为周期函数，周期为4，函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，令，则，所以为函数减区间，为函数增区间，令，则为余弦函数，由此可得函数与函数的大致图像如下：由图分析要使函数与函数只有唯一交点，则，解得，故答案选C。【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题。7.如果为纯虚数，则实数等于（

）A.0

B.-1或1

C.-1

D.1参考答案：D【知识点】复数运算解析：，因为是纯虚数，所以，解得a=1.故选D.【思路点拨】利用复数的除法运算先化简，再利用纯虚数定义求解.8.若全集，则集合的真子集共有

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C略9.已知命题，命题，则(

)A.命题是假命题

B.命题是真命题C.命题是真命题

D.命题是假命题参考答案：C略10.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为（

）

A．64.5

B．59.5

C．69.5

D．50参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A＝与B＝，若,则的范围是_______参考答案：12.已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范围即可得出的范围．【解答】解：设∠APB=2θ，则PA=PB=，当OP取得最小值时，θ取得最大值．圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为=，圆的半径为r=1，∴sinθ的最大值为=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．设cos2θ=t，f（t）==，则f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上单调递增，∴f（t）的最大值为f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案为（0，]．13.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是__________参考答案：14.中，所对的边长分别为，且，，则参考答案：2略15.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当且时，此抛物线的方程为_________

参考答案：16.在平面边形ABCD中，，则AD的最小值为_____.参考答案：分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设，在中，由正弦定理，得，即，即，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得，，其中，则，即的最小值为．点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：，其中．17.已知||=1，||=m，∠AOB=π，点C在∠AOB内且=0，若（λ≠0），则m=．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】作CD∥OB，CE∥OA，根据向量加法的平行四边形法则即可得到，，从而得到，，而△OCE为等腰直角三角形，从而得到，这样即可求出m．【解答】解：如图，过C分别作CD∥OB，CE∥OA，并分别交OA，OB于D，E，则：，；∴，；△OCE为等腰直角三角形；∴；即；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，从而可求函数的最小值；（Ⅱ）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，知2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，分离参数，求最值，由此能够求出实数a的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=1+lnx，x＞0，由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞，∴函数f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）．∴x=时，函数取得最小值﹣；（Ⅱ）∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，∴a≤2lnx+x+，令h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=当x＞1时，h（x）是增函数，当0＜x＜1时，h（x）是减函数，∴a≤h（1）=4．即实数a的取值范围是（﹣∞，4]．【点评】：本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．19.（本题满分12分）叙述并证明余弦定理.参考答案：余弦定理：；

-----3分下面证明：在中

-----6分平方得：因为.所以，即：；-----10分同理可证：；.

-----12分(其他证明方法酌情给分)20.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

45岁以下45岁以上总计支持

不支持

总计

（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中参考答案：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：

45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为，故所求概率.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.21.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3?a4=117，a2+a5=﹣22．（1）求通项an；（2）求Sn的最小值．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由已知得a3，a4是方程x2+22x+117=0的两个实数根，且a3＜a4，从而得到a1=﹣21，d=4，由此能求出通项an．（2）Sn=﹣21n+=2n2﹣23n，由此利用配方法能求出Sn的最小值．【解答】解：（1）∵公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3?a4=117，a2+a5=﹣22．∴a3+a4=a2+a5=﹣22．∴a3，a4是方程x2+22x+117=0的两个实数根，且a3＜a4，解方程x2+22x+117=0，得a3