2021年河南省南阳市灌涨高级中学高三数学文月考试题含解析

2021年河南省南阳市灌涨高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略2.“a＞b”是“3a＞2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由a＞b?3a＞3b，当b≤0时，3b≤2b，故a＞b”推不出“3a＞2b”，由3a＞2b推不出a＞b，当a=b时，3＞2，故“a＞b”是“3a＞2b”既不充分也不必要条件，故选：D3.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．4.“”是“函数在上单调递增的”（

）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A若在上单调递增，则恒成立，∴恒成立，∵，∴，∴“”是在上递增的充分不必要条件，选择．5.若非零向量满足、，则的夹角为（

）A.30o

B.60o

C.120o

D.150o参考答案：C略6.已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=(

)A． B． C．1 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7.曲线在点处的切线方程为

A． B．

C．

D．参考答案：B略8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是

A.28

B.27

C.24

D.21参考答案：C如图由三视图可以想象对应的几何体是一个大正方体上挖去了一个小正方体，所以这个几何体的表面积没变仍是：。9.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．10.已知i为虚数单位，若复数A．1

B．

C．

D．2

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正数数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则__

_.

参考答案：略12.若不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：【知识点】绝对值不等式

E2解析：由于，则有，即，解得，故实数的取值范围是【思路点拨】由绝对值不等式的意义可求出最小值，再求出m的取值.13.设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的取值范围是

．参考答案：14.一个多面体中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度分别为，则这条棱的长为____

_。参考答案：15.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．

(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．参考答案：(1)0.0044(2)70略16.设，向量，，若，则__________．参考答案：∵，∴，∵，∴，∴，解得．17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为

。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在边长为a的正方体中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点．（1）求点P到平面MNQ的距离；（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

参考答案：解：方法1（几何法）：∵平面，

∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为．---------6分（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得，∴．．由得，∴．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为．---------12分方法2（空间向量方法）

建立如图所示的空间直角坐标系．（1）是平面MNQ的一个法向量．∵，∴点P到平面MNQ的距离．（2）设平面MPQ的一个法向量为．．由得得∴．．．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．

略19.(本小题满分12分)如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证：；

（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）

,点E为的中点,连接的中位线//

……2分又

………4分（II）正方形中,

,

由已知可得：，

,

…………8分故当时，二面角的大小为

……………12分(注：其它方法同样得分)20.已知函数f(x)=ax2－(1+a)x+lnx(a≥0)．(1)求函数f（x）的单调区间；(2)当a=0时，关于x方程f(x)=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m取值范围．参考答案：

21.

设锐角△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2bsinA，

⑴求角B的大小；

⑵若a=，c=5，求b．参考答案：解：（I）由正弦定理得： （II） 略22.设函数；（1）若，且对任意恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，且关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.参考答案：(1)；(2).试题分析：对问题（1），可以先求出函数的最小值，再根据极端不等式恒成立即可求出实数的取