2021-2022学年广东省阳江市新洲中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年广东省阳江市新洲中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：D【考点】特称命题．【分析】根据题意x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；讨论①1﹣2k≤0时和②1﹣2k＞0时，存在x∈[1，+∞），使f（x﹣2k）﹣k＜0时k的取值范围即可．【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．2.曲线在区间上截直线y=4与y=－2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知函教的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（

）A.

B. C.

D.参考答案：C4.对于非空集合、，定义运算：，已知，，其中、、、满足，，则A. B. C. D.参考答案：B5.若实数，满足不等式组

且的最大值为9，则实数A．

B．

C．1

D．

2参考答案：C6.过椭圆C：（为参数）的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，，，则的值为（）A. B. C. D.不能确定参考答案：B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则△OBP的面积随时间变化的图象符合（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】分类讨论，结核函数值的变化情况以及所给的选项，得出结论．【解答】解：当点P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零．当点P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值．当点P从最高点运动到A的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，故选：A．8.以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（

）（A） （B） （C） （D）参考答案：D9.的展开式中的系数为（

）A．

-160

B．320

C.480

D．640参考答案：B10.已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=xa过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B． C．2 D．3参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．【解答】解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是函数的两个零点，，则的取值范围是.参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9解析：令f（x）=0，则，作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又f（）＜0，f（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞．故答案为：（，1）．【思路点拨】作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，再结合零点存在定理，可得结论．12.(坐标系与参数方程选做题)圆和圆的极坐标方程分别为，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．参考答案：把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：和，所以两圆心坐标为（2,0），和（0，-2），所以经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为。13.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前项和）,则

.参考答案：3略14.设数列是首项为，公比为的等比数列，则

参考答案：15这题相当于直接给出答案了15.如图3，已知，是的两条弦，，，，则的半径等于________.参考答案：16.过点的直线将圆：分成两段弧，当形成的优弧最长时，则（1）直线的方程为

；（2）直线被圆截得的弦长为

．参考答案：；．（1）设圆心为，由圆的性质得，当直线时，形成的优弧最长，此时，所以直线的斜率为．于是有点斜式得直线的方程为，即．故填．（2）圆心到直线的距离为，设直线与圆相交于点，，则弦长．故填．【解题探究】本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线的方程；第（2）问先求出圆心到直线的距离，再计算直线被圆截得的弦长．17.在△ABC中，，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧），当变化时，线段CD长的最大值为__________．参考答案：3试题分析：设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．考点：解三角形三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．参考答案：解：（1）设N（x，y），则由得P为MN的中点，所以又，∴∵，∴y2=4x（x≠0）（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即故，又成等差数列∴x1+x3=2x2∵直线AD的斜率∴AD的中垂线方程为又AD的中点在直线上，代入上式，得故所求点B的坐标为（1，±2）略19.已知点F是抛物线:的焦点，点到F的距离为2.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB与曲线相交于A,B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为，求b的值.（Ⅲ）抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的

切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）准线：，依抛物线定义可知，，所以抛物线为----3分（Ⅱ）由，所以的中点为，所以AB的中垂线为依题意可知在垂线上，所以----------------------------------7分(2)由（Ⅱ）,假设抛物线上存在异于点、的点，满足题意令圆的圆心为，则由得得，（或者用中垂线交点求出圆心坐标）------10分因为抛物线在点处的切线斜率，--------------------------11分又该切线与垂直，所以所以因为，所以.故存在点且坐标为.--------------------------------------13分略20.己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n?4n﹣1．数列{bn}满足bn=，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，∴=an+1，即=2，∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵bn=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{bn}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，bn==，Sn=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，bn==，Sn=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．21.（本小题满分12分，⑴小问3分，⑵小问4分，⑶小问5分）（原创）在数列中，已知，，其前项和满足。⑴求的值；⑵求的表达式；⑶对于任意的正整数，求证：。参考答案：⑴依次令可得，，；

⑵法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。

法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。

法三：由题，当时，，故，因此。又，故。⑶法一：由⑵知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。

法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：①当时不等式显然成立；②假设时不等式成立，即，则如“法二”可证，故，即当时不等式成立。综上得证。

22.