黑龙江省哈尔滨市元宝中学高三数学理期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市元宝中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

（

）

A．

B．2

C．

D．6

参考答案：B略2.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有

（

）

A.0个

B.

1个

C.2个

D.

3个参考答案：C略3.已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得﹣，∵点P（6，2）是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．4.奇函数满足对任意都有且则的值为(

)A.

B. C. D.参考答案：【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质。B4【答案解析】D解析：因为f（x）为奇函数，所以由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），即函数的周期是4．所以f（2011）=f（503×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），f（2012）=f（503×4）=f（0），f（2013）=f（503×4+1）=f（1），所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=﹣f（1）+f（0）+f（1）=f（0），因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（0）=0．故选D．【思路点拨】由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），得函数的周期，然后利用周期性分别进行求解即可．5.设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（） A．4 B． 3 C． 2 D． 1参考答案：C略6.已知命题p：lnx＞0，命题q：ex＞1则命题p是命题q的（）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A略7.函数的定义域是

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：B解析：由，故选B.8.将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（

）

A．

B．2+

C．4+

D．

参考答案：B9.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．10.根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数图象与:关于直线对称,且图象关于对称,则的值为

．参考答案：212.已知定义在R上的偶函数满足：，且当时，y=f(x)单调递减，给出以下四个命题①f(2)=0，②x=－4为函数y=f(x)图象的一条对称轴 ③函数y=f(x)在[8，10]上单调递增④若方程f(x)=m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=－8，上述命题中所有正确的命题的序号为 。参考答案：略13.若，则

参考答案：214.若直线与曲线恰有四个公共点，则的取值集合是____参考答案：15.观察下列等式照此规律，第n个等式为

.参考答案：略16.设e表示自然对数的底数，函数，当f(x)取得最小值时，则实数a的值为

．

参考答案： =，表示点A与点B的距离的平方，点A在曲线上，点B在直线上，求导若所以的最小值即为点C到的距离的平方，此时点B满足

17.在中，，，，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域与导数，通过a≥0，a＜0，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通过化简所证明的不等式，结合，，构造函数，利用导函数的单调性，推出?（t）在[e2，+∞）上单调增，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域为{x|x＞0}，，（1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调增；在上单调增；在上单调减．…（Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，∴lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）=令，令，则令，令，则，∴?（t）在[e2，+∞）上单调增，…．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．19.参考答案：解析:（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC

+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62–2×4×6×cos∠ABC=42+22–2×2×4cos∠ADC．所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈(0，)，故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．………………4分在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2–2AB·BC·cos∠ABC

=16+36–2×4×6×．

AC=．…………6分由正弦定理，∴∴（万米）．………………8分（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC又S△ADC=AD·CD·sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=．……10分又由余弦定理AC2=x2+y2–2xycos60°=x2+y2–xy=28．∴x2+y2–xy≥2xy–xy=xy．∴xy≤28

当且仅当x=y时取等号……12分∴S四边形APCD=2+∴最大面积为9万平方米．…………13分．

20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：略21.（本小题满分12分）设为公比不为1的等比数列，=16，其前n项和为，且5、2、成等差数列．（l）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式>恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列

∴，即 2分

∴

∵，∴q=2 4分

又∵，即，

∴． 5分(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式都成立

则 7分

又 9分

所以 10分

显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以

∴，解得k≥2． 11分

所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式都成立

且正整数k的最小值为． 12分

22.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围．参考答案：(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.∵f(x)在(－∞