陕西省西安市西航集团第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

陕西省西安市西航集团第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为(

)A． B． C． D．2ln2参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得．【解答】解：如图，面积．故选D．【点评】本题主要考查定积分求面积．2.下列结论错误的是(

)

A.命题“若，则”的逆否命题为“若”

B.“”是“”的充分不必要条件

C.已知命题“若，则方程有实根”,则命题的否定为真命题

D.命题“若，则”的否命题是“若”参考答案：C略3.函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是（

）[参考答案：D试题分析：由原函数可知，它先减后增，再保持不变；因而其导函数是先负，后正在为零.由图可知选D.考点：1.原函数与导函数的关系.

4.给定集合A、B，定义，若，则集合A*B中所有元素之和为（

）A．6

B．8

C．10

D．18参考答案：答案：C5.设方程的两个根为，则（

）A

B

C

D

参考答案：答案：D6.执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值是A．7

B．6

C．5

D．3参考答案：B7.已知函数f(x)满足，设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“”与“”的关系.【详解】若，则，故“”是“”的必要条件，取，若，则或，故“”推不出“”，故“”是“”的不充分条件，综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.8.已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．9.下列函数中，在上有零点的函数是(

▲

)A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=

.13.参考答案：2.

由余弦定理知，.12.函数y=﹣x（x≥0）的最大值为

．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出y′，讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），∴y′=﹣1，∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．故答案为：．【点评】考查学生求导数的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．13.若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是

．参考答案：由题可知动直线过定点．设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为14.已知变量满足约束条件，则的最大值是

．参考答案：15.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；

②； ③； ④其中为函数的序号是

。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：②③①若，则由得，即，所以，显然不恒成立。②若，由得由恒成立，所以②为函数。③若，由得，当时，有，，此时成立，所以③为函数。④若，由得由，即，即，要使恒成立，则有，即。但此时，所以不存在，所以④不是函数。所以为函数的序号为②③。16.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为

；参考答案：917.已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=2，PB=AB=2，则球O的表面积为．参考答案：16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意将四面体P﹣ABC放在对应的长方体中，根据长方体与外接球的直径之间关系，可求出球的半径，代入球的表面积公式求出答案．【解答】解：由题意知，PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AC=，PB=AB=2，如图所示构造长方体：则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，即长方体的体对角线等于球的直径2R，所以2R==4，则R=2，则球O的表面积S=4πR2=4π×4=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查空间几何体的外接球问题，利用四面体构造长方体是解题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知向量，，若．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)已知的三内角的对边分别为，且，（A为锐角），，求A、的值．参考答案：19.（本题满分10分）已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）如果当时，的值域是，求与的值；（3）对任意的，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）令，解得,对任意所以函数是奇函数.

（2）由知，函数在上单调递减，因为，所以在上是增函数又因为时，的值域是，所以且在的值域是，故且（结合图像易得）解得（舍去）．所以，（3）假设存在使得即，解得，下证：．证明：

，∴，

∴，即，∴所以存在，使得20.(本小题满分14分)在中，为中点，.求(1)的大小；(2)的大小和的值。参考答案：在中，为中点，.求(1)的大小；(2)的大小和的值。解：（1）由题意得：，

2分故

4分在中，。

6分（2）法1：先求由为中点及三角形面积公式得：即,故,

9分在中,由余弦定理得化简可得,故为等腰直角三角形，即。

11分

从而易得

14分法2：先求在中,由正弦定理得：………………（1）在中,由正弦定理得：………………（2）

8分由（1）（2）及为中点可得，

10分

设则，在中,由余弦定理得可解得，故，

12分故为等腰直角三角形，即。

14分法3：先求取中点,连接，则.在中,由正弦定理得：

8分,可得,故，

10分以下解法同法221.已知函数，为函数的导函数．（1）若数列满足：，（），求数列的通项；（2）若数列满足：，（）．

①当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；

②当时，求证：．参考答案：解：（1），，即，

数列是首项为，公比为的等比数列．，即．（2）①，．当时，．假设，则．由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．②，．当时，．假设，则．由数学归纳法，得出数列．又，，即．．，．

22.设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．参考答案：【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）得，把=代入（*）式，令，得只需证．令（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax，可知=．因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，①若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；②若a=0，则当f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；③若a＜0，则当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当