空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何测试题1.空间的一个基底确定的平面个数为（）。A.1个B.2个C.3个D.4个以上2.已知点A(1,2,-1)关于平面xOy的对称点为B，而点B关于x轴的对称点为C，则向量BC的坐标为（）。A.(0,4,2)B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,-4,2)3.已知向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，且a≠b，设a-b=R，则向量a-b与x轴夹角的余弦值为（）。A.(x1-x2)/RB.(x2-x1)/RC.(x1-x2)/RD.±(x1-x2)/R4.若向量MA,MB,MC互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则能使MA=MB+MC成立的点O满足（）。A.OM=OA+OB+OCB.MA≠MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为（）。A.1/√3B.√3/2C.√2/3D.3/√26.一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（）。A.3a/2B.2a/√2C.a/√2D.2a/√37.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则向量a的长度为（）。A.2B.4C.6D.128.设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则线段AB的长度为（）。A.4√5B.2√5C.5D.5√29.二面角P-AD-C为60°，PD⊥AD，PD=AD=2，ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，则点P到平面AB的距离为（）。A.2√2B.3C.2D.710.已知向量p=(x,y,z)，向量q=(a,b,c)且xyz≠0，abc≠0，若有等式(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2成立，则向量p和q之间的关系是（）。A.平行B.垂直C.相交D.以上都可能11．已知平面α与β所成二面角为80°，P为α，β外一定点，过点P一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B解析：过点P的直线只能与α和β各相交一次，因为如果与其中一个平面相交两次，那么与另一个平面的夹角就不是30°了。所以直线与α和β各相交一次，共两条。12．如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB平面α，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点AB=2BC=2CD=4，的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案：B解析：连接AC，由题意可知∠APC=∠BPD=90°，所以四边形APCB是一个圆。又因为AB∥CD，所以AP=2PD，PC=2PB，所以P点在圆的直径上，即轨迹为直线。13．已知a=(1-t,1-t,t)，b=(2,t,t)，则b-a的最小值是答案：√2解析：b-a=(1+t,t-1,0)，所以|b-a|=√[(1+t)²+(t-1)²]=√(2t²+2)。当t=1时，|b-a|=√2，为最小值。14．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为。答案：π/4解析：由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以BA1与AC平面垂直于ABCD面，所以它们的夹角等于它们在ABCD面上的投影的夹角，即直角三角形ABC中的∠BAC，因为AB=AC=a，BC=a√2，所以sin∠BAC=BC/AC=√2/2，所以∠BAC=π/4。15．如图2，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AAC1C所成的角为α，则sinα=。答案：1/√3解析：由于AD∥CC1，所以AD与平面AAC1C的夹角等于AD与平面ABC的夹角，又因为AB=1，BD=1，所以AD=√3，且∠ABD=120°，所以三角形ABD是等边三角形，所以∠ADB=∠ABD=120°。又因为AD与平面ABC的夹角等于∠ADB减去ABC的补角，所以α=60°，所以sinα=1/√3。16．已知m，l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m，l都垂直；④必存在平面δ与m，l距离都相等。其中正确命题的序号是答案：①、③解析：①显然成立，因为可以取m的一个点作为平面α的一点，然后取l上的一点作为平面α的另一个点，这样就可以确定一个平面与l平行。②不成立，因为如果平面β与l垂直，那么它也与m垂直，与m与l异面矛盾。③显然成立，可以取m上的一点作为平面γ的一点，然后取l上的一点作为平面γ的法向量，这样就可以确定一个平面与m，l都垂直。④不成立，因为如果平面δ与m，l距离相等，那么它们的交线应该与m，l的距离相等，这与m，l是异面矛盾。17．设空间两个不同的单位向量a=(x,y1,，0)，b=(x2,y2,0)与向量c=(111)，，的夹角都等于π/2。答案：x1x2+y1y2=0解析：设a与c的夹角为α，b与c的夹角为β，由于a和b都是单位向量，所以有a·a=1，b·b=1，c·c=1，又因为a与c垂直，所以a·c=0，同理b·c=0，所以有以下四个方程：x1+y1=0x2+y2=0x1x2+y1y2=0x1²+y1²=1x2²+y2²=1解方程组得x1x2+y1y2=0。18．如图3，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠ADC是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC成角的大小。答案：cosθ=5/9解析：设异面直线BC1与DC的交点为E，连接AE，DE，由于底面ABCD是直角梯形，所以∠ADC=90°，所以四面体AEDC是直角四面体，所以DE²=AD²+DC²=5。又因为AB∥CD，所以∠AEB=∠DEC，所以四面体AEBE1和四面体DEC1E是相似的，所以BE/DE=AE/CE1，即BE/(√5/2)=2/(1+CE1)，又因为AB=4，AD=2，所以BC1=2√5/3，CE1=3/2，代入上式得BE=5/9√5，所以cosθ=BE/BC1=5/9。19．如图4，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π/4。答案：AE=√2-1解析：设∠D1EC=θ，∠AED1=α，由于二面角D1-EC-D的大小为π/4，所以cosθ=cos(π/4)=1/√2，又因为∠D1EC=π/2，所以sinθ=1/√2，所以tanθ=1，即CE=DE，又因为AB∥CD，所以∠ADE=∠BCE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以AE=BC=√[(AB+CE)²+AE²]=√(5-2√2)，所以AE=√2-1。20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1。（1）求BF；（2）求点C到平面AEC1F的距离。答案：（1）BF=3；（2）点C到平面AEC1F的距离为√10/2。解析：（1）连接BF，CF，由于ABCD是长方体，所以BF=DC1=3。（2）设点P为点C在平面AEC1F上的投影，连接AP，BP，CP，由于ABCD是长方体，所以AP=BD=√(4²+2²)=2√5，BP=AC1=√(3²+1²)=√10，所以∠APB=π/2，所以点P在直线AB上，又因为∠C1AE=∠C1EF，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以PC1=AE=√(2²+1²)=√5，所以C1P=√(CC1²-PC1²)=√(8-5)=√3，所以点C到平面AEC1F的距离为BP·C1P/BF=√10/2。21．如图6，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC。（1）求证：OD∥平面PAB；（2）当k=2时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？OB=b，OC=c，可构成空间向量的一组基底。答案：（1）连接AD，BD，由于OD是AC，BD的中垂线，所以OD∥AB，又因为ABBC，所以OD∥平面PAB；（2）由于ABBC，所以kPA²=PA²+AB²=PA²+k²PA²，所以PA=k√2，PC=k√2/2，由于OP底面ABC，所以OP是底面ABC的中垂线，所以BP=CP，又因为∠BPC=π/2，所以BP=CP=k√3/2，所以cos∠PBC=BP/PC=k√3/2·2/√2=k√3/2，所以∠PBC=π/6；（3）设O在平面PBC内的射影为H，由于OP底面ABC，所以OH=OP·sin∠PBC=k√2/2·√3/2=k√6/4，又因为H是△PBC的重心，所以OH=2/3PH，所以PH=3k√6/8，又因为O是AC，BD的中点，所以OH=OD/2，所以OD=3k√6/8，又因为OD平行于平面PAB，所以OD的长度等于平面PAB到点O的距离，所以3k√6/8=2k/√2，解得k=√6。面六面体OADB-CAD1B1是否为正六面体。首先，需要对文章进行格式修正和删除明显有问题的段落。修正后的文章如下：给定向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)，显然a×b的结果仍为一向量，记作p。(1)求证：向量p为平面OAB的法向量；(2)求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于a×b；(3)将四边形OADB按向量OC=c平移，得到一个平行六面体OADB-CAD1B1，试判断平面六面体OADB-CAD1B1是否为正六面体。接下来，对每段话进行小幅度的改写，使其更加易懂。给定向量a、b、c，定义向量叉乘运算a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)，结果记作p。显然，向量p仍为一向量。(1)求证：向量p为平面OAB的法向量。证明：向量a、b在平面OAB上，因此它们的叉积p垂直于平面OAB。即p为平面OAB的法向量。(2)求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于a×b。证明：平行四边形OADB的面积为底边OA与高h的乘积，其中h为OA在向量p上的投影长度。由于p垂直于OA，因此h为p的模长与OA的模长的乘积，即|h|=|p|×|OA|。又因为p=a×b，因此|h|=|a×b|×|OA|。将其代入面积公式得到：S=|OA|×|a×b|，即以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于a×b。(3)将四边形OADB按向量OC=c平移，得到一个平行六面体OADB-CAD1B1，试判断平面六面体OADB-CAD1B1是否为正六面体。判断：由于平行六面体的六个面都是平行四边形，因此只需要证明平行六面体的相邻三个面的面积相等即可。设向量AD=a，向量BD=b，向量CD1=d，则平行六面体的三组相邻面为：OADB和OAD1B1，OADB和OCAB，OADB和OD1C