新教材 人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 知识点汇总及解题规律方法提炼

6．1平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量．(2)有向线段①定义：具有方向的线段．②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终

点的有向线段记作AB→．

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.(3)向量的表示

■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．

(2)用有向线段表示向量时，要注意AB→的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．2．向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量AB→的大小，称为向量AB→的长度(或称模)，记作|AB→|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.

②③

■名师点拨②③(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

典型例题1向量的相关概念给出下列命题：

①若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；③若a＝b，b＝c，则a＝c.其中所有正确命题的序号为________．

【解析】AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；

在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．【答案】

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．典型例题2向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上；

(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．【解】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点

O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确

定，画出向量OA→，如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的

横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在

坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C

的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．

用有向线段表示向量的步骤

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.

典型例题(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.共线向量与相等向量

如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，在每两点所确定的向量中．

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？

【解】

(2)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.

1．[变条件、变问法]本例中若OC→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．

解：与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，F→A；与

c相等的向量有FO→，ED→，AB→.

2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？

解：与AD→共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，OA→.

共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.

对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合向量的加法运算求两个向量和的运算，叫做向量的加法已知非零向量a，b在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→形法结论即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→已知不共线的两个向量a，b作法四边形法对于零向量与任一向量a，我们规对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合向量的加法运算求两个向量和的运算，叫做向量的加法已知非零向量a，b在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→形法结论即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→已知不共线的两个向量a，b作法四边形法对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB结论对角线OC→就是a与b的和两种情况．

6．2.11．向量加法的定义及运算法则

定义前提

作法三角法则则

图形

前提

平行法则则图形

规定■名师点拨(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时

a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律

交换律结合律

典型例题1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【解】法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，

首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，

则得向量OB→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，

则向量OC→＝a＋b＋c为所求．

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取

一点O，作OA→＝a，OB→＝b；

(2)作平行四边形AOBC，则OC→＝a＋b；

(3)再作向量OD→＝c；(4)作平行四边形CODE，

则OE→＝OC→＋c＝a＋b＋c.OE→即为所求．

(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．典型例题2平面向量的加法运算化简：

(1)BC→＋AB→；

(2)DB→＋CD→＋BC→；

(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋F→A.

【解】

(2)DB→＋CD→＋BC→

＝BC→＋CD→＋DB→

＝(BC→＋CD→)＋DB→

＝BD→＋DB→＝0.

(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋F→A

＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋F→A

＝AC→＋CD→＋DF→＋F→A

＝AD→＋DF→＋F→A＝AF→＋F→A＝0.

向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．典型例题3向量加法的实际应用

某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

【解】如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA→，以

OA→，OB→为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为OA→＋OB→＝OC→.

由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．

向量的减法运算

6．2.2向量的减法运算1．相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．

(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，如图所示．

(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.典型例题1向量的减法运算化简下列各式：

(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；

(2)AB→－AD→－DC→.

【解】(1)法一：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→

＋OB→＝AB→.

法二：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→

＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0

＝AB→.

(2)法一：原式＝DB→－DC→＝CB→.

法二：原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.

向量减法运算的常用方法

典型例题2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

【解】法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→

＝b，OC→＝c，连接BC，

则CB→＝b－c.

过点A作AD綊BC，连接OD，

则AD→＝b－c，

所以OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.

法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，

连接OB，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，

则CB→＝a＋b－c.法三：如图③，在平面内任取一点O，

因为四边形ACDE是平行四边形，

作OA→＝a，AB→＝b，连接因为四边形ACDE是平行四边形，

则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，

则OC→＝a＋b－c.

求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．典型例题3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一

点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.

【解】

所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，

故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.

用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．

向量的数乘运算

(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．向量的数乘运算

例如，在四边形ABCD中，AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.

6．2.31．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|．(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．■名师点拨λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．■名师点拨若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.典型例题1向量的线性运算(1)计算：

3a－(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a

①4(a＋b)－3(a－b)－8a；3a－(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；

③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.

(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求1－a－23b＋(2b－a)．

【解】＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.

③原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b

＝2352a－1112b

＝53a－1118b.

(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a

＝13－1－1a＋－1＋23＋b

＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)

＝－5＋103i＋－103－53j

＝－53i－5j.

向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

→2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、Dk－λ＝0，λk－1＝0，

典型例题→2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、Dk－λ＝0，λk－1＝0，向量共线定理及其应用已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

【解】(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1

＋e2)＝5AB→.

所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，

由于e1与e2不共线，只能有

所以k＝±1.

向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例

如，若AB→＝λAC→，则AB→与AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．典型例题3用已知向量表示其他向量

如图，ABCD是一个梯形，AB→∥CD→且|AB→|＝2|CD→|，M，

N分别是DC，AB的中点，已知AB→＝e1，AD→＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

(1)AC→＝________；

(2)14e1－e2

(2)MN→＝________．(2)14e1－e2

【解析】因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，

所以AB→＝2DC→，DC→＝12AB→.

(1)AC→＝AD→＋DC→＝e2＋12e1.

(2)MN→＝MD→＋DA→＋AN→

＝－12DC→－AD→＋12AB→

＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－e2.

【答案】(1)e2＋12e1

[变条件]在本例中，若条件改为BC→＝e1，AD→＝e2，试用e1，e2表示向量MN→.

解：因为MN→＝MD→＋DA→＋AN→，

MN→＝MC→＋CB→＋BN→，

所以2MN→＝(MD→＋MC→)＋DA→＋CB→＋(AN→＋BN→)．又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以MD→＋MC→＝0，AN→＋BN→＝0.

所以2MN→＝DA→＋CB→，

所以MN→＝12(－AD→－BC→)＝－12e2－12e1.

用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法

(2)方程法

向量的数量积

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关向量的数量积于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

6．2.41．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，

作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；

②当θ＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b；

③当θ＝π时，向量a与b反向．■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的

角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹

角．作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0．■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．3．投影向量

如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB→＝a，CD→＝b，我们考

虑如下变换：过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，

垂足分别为A1，B1，得到A→1B1，我们称上述变换为向量a向向量b

22θ.π

投影(project)，A→1B1叫做向量a在向量b22θ.π

如图(2)，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M

作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM→1就是向量a在向量b上的投影向量．

(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM→1＝|a|cosθe.■名师点拨

当θ＝0时，OM→1＝|a|e；当θ＝π2时，OM→θ∈0，时，OM1与b

方向相同；当θ∈π，π时，OM→1与b方向相反；当θ＝π时，OM→1＝－|a|e.

4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c

(1)(a＋2b)·(a＋3b)

与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(1)(a＋2b)·(a＋3b)(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.典型例题1平面向量的数量积运算(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．

(2)如图，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，∠DAB＝60°，求：

①AD→·BC→；②AB→·DA→.【解】＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.

(2)①因为AD→∥BC→，且方向相同，

所以AD→与BC→的夹角是0°，

所以AD→·BC→＝|AD→||BC→|·cos0°＝3×3×1＝9.

②因为AB→与AD→的夹角为60°，

所以AB→与DA→的夹角为120°，

所以AB→·DA→＝|AB→||DA→|·cos120°

＝4×3×－12＝－6.

[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC→·BD→.

解：因为AC→＝AB→＋AD→，BD→＝AD→－AB→，

所以AC→·BD→＝(AB→＋AD→)·(AD→－AB→)

＝AD→2－AB→2＝9－16＝－7.

)B．23D．1232B.12

D.144＋4×2×1×12＋4＝23.)

向量数量积的求法)B．23D．1232B.12

D.144＋4×2×1×12＋4＝23.)(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．典型例题2向量模的有关计算(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(A.3C．4

(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(

A.13

C.15

【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2

＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2

＝

(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得

|b|＝12.

【答案】(1)B(2)B

求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．

(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．典型例题3

θ－6|b|2θ－6×42＝－72，θ＝36＋72－96＝12，θ＝12.]θ＝θ＝(2)π3因为|a＋tb|＝b2|a||b|.又因为|a|＝2|b|，|b|212|b|2＝θ－6|b|2θ－6×42＝－72，θ＝36＋72－96＝12，θ＝12.]θ＝θ＝(2)π3因为|a＋tb|＝b2|a||b|.又因为|a|＝2|b|，|b|212|b|2＝2.（a＋tb）2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．【解析】(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos＝62－6×4×cos所以24cos

所以cos

又因为θ∈[0，π，所以θ＝π3.

(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以

cos

所以cos

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.

【答案】(1)π3

命题角度二：证明两向量垂直已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．

【证明】

|b|2t2＋2a·bt＋|a|2，

所以当t＝－2a·b2|b|2＝－a·b|b|2时，|a＋tb|有最小值．

此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋－a·b|b|2·|b|2

)B．32D．1π3(2)－8或5θ＝θ的值．a·b|a||b|，最后借助

＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．)B．32D．1π3(2)－8或5θ＝θ的值．a·b|a||b|，最后借助命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(

A．－32

C．±32

(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，

则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，

所以12k－18＝0，k＝32.

(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，

则49＝9＋λ2＋6λcos，

即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B

求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定

义或性质计算cosθ∈[0，π]，求出θ的值．

(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos

平面向量基本定理e1，e2是同一平面内的两个不共线向量对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

平面向量基本定理e1，e2是同一平面内的两个不共线向量对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底＝1，1＝0，1＋2λ＝0，2＋λ＝0，平面向量基本定理条件

结论

基底

■名师点拨(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．典型例题1平面向量基本定理的理解设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．

【解析】①设e1＋e2＝λe1，则无解，

所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，

则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1

能作为一组基底．

1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以x＝x2，y1＝y2.DE→＝DA→＋AB→＋BE→

③因为e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以x＝x2，y1＝y2.DE→＝DA→＋AB→＋BE→

所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．

④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则

e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．【答案】③

对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a

＋y2b，则

[提醒]一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．典型例题2用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE

与BF交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，试用基底{a，b}表示向量DE→，BF→.

【解】

＝－AD→＋AB→＋12BC→

＝－AD→＋AB→＋12AD→＝a－12b.

BF→＝BA→＋AD→＋DF→

设BM→＝e1，CN→＝e2，

＝－AB→＋AD→＋12AB→＝b－12a.设BM→＝e1，CN→＝e2，

1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG→.

解：由平面几何知识知BG＝23BF，

故AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BF→

＝a＋23b－12a

＝a＋23b－13a＝23a＋23b.

2．[变条件]若将本例中的向量“AB→，AD→”换为“CE→，CF→”，即若CE→＝a，CF→

＝b，试用基底{a，b}表示向量DE→，BF→.

解：DE→＝DC→＋CE→＝2FC→＋CE→＝－2CF→＋CE→＝－2b＋a.

BF→＝BC→＋CF→＝2EC→＋CF→

＝－2CE→＋CF→＝－2a＋b.

用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．典型例题3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.

【解】

λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，

λ＝45，μ＝35.

则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，

λ＝45，μ＝35.因为A，P，M和B，P，N分别共线，

所以存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，

BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.

故BA→＝BP→＋P→A＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，

得

解得

所以AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，

所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.

1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a，CN→＝b，试用a，b表示CP→.

解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP→＝25NB→，

CP→＝CN→＋NP→＝CN→＋25NB→＝b＋25(CB→－CN→)

＝b＋45a－25b＝35b＋45a.

2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.

解：如图，设BM→＝e1，CN→＝e2，

则AM→＝AC→＋CM→＝－2e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，

＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，

λ＝23，μ＝23.平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示

所以存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－2λe2，＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，

λ＝23，μ＝23.平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示

BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.

故BA→＝BP→＋P→A＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.

而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，

得

解得

所以AP→＝23AM→，BP→＝23BN→，

所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．

6.3.26.3.36.3.4第1课时1．平面向量坐标的相关概念

■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．

→2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．

(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应→2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝(λx1，λy1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

(2)已知向量AB→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y典型例题1平面向量的坐标表示

已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA→的坐标；

(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标．

【解】(1)设点A(x，y)，则x＝|OA→|cos60°＝43cos60°＝23，y＝|OA→|sin

60°＝43sin60°＝6，

即A(23，6)，所以OA→＝(23，6)．

(2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．

求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．典型例题2平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则

)B．(23，12)D．(－7，0)x1＋3＝3)B．(23，12)D．(－7，0)x1＋3＝3，x2＋3＝12，解得x1＝0，x2＝9，y1＋4＝24，y＋4＝6.y1＝y2＝2.A．(－23，－12)C．(7，0)

(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求点M，N的坐标．【解】(1)选A.因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，

CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．

因为CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，

所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN→＝2(6，3)＝(12，6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

所以CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，

CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，

所以

所以M(0，20)，N(9，2)．

法二：设O为坐标原点，则由CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，

可得OM→－OC→＝3(OA→－OC→)，ON→－OC→＝2(OB→－OC→)，

所以OM→＝3OA→－2OC→，ON→＝2OB→－OC→.

所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，

ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．所以M(0，20)，N(9，2)．

平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则

1＋3t＜0，2＋3t＞0，3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．

进行．1＋3t＜0，2＋3t＞0，3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．典型例题3向量坐标运算的综合应用

已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【解】(1)OP→＝OA→＋tAB→＝(1，2)＋t(3，3)

＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.

若点P在第二象限，则

所以－23＜t＜－13.

(2)OA→＝(1，2)，PB→＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，

则OA→＝PB→，所以

故四边形OABP不能为平行四边形．

[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

解：由OP→＝OA→＋tAB→，得AP→＝tAB→.

所以当t＝2时，AP→＝2AB→，B为线段AP的中点．

向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个

xy1x1＝y(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，22≠0，y2≠0)，即两个不平

变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．xy1x1＝y(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，22≠0，y2≠0)，即两个不平(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．

第2课时两向量共线的充要条件及应用两向量共线的充要条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．■名师点拨

(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成

行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.典型例题1向量共线的判定(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．

(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断AB→与AC→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，

所以k＝－13.故填－13.

(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，

AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，

所以AB→∥AC→，所以AB→与AC→共线．

(1)证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝(4，8)，

又AB→＝23AC→，所以AB→与AC→的方向相同．(1)证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝(4，8)，

[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？

解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－13，

所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，

a＋kb＝a－13b＝(1，－2)－13(3，4)

＝0，－103＝13(0，－10)，

所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．

向量共线的判定方法

典型例题2三点共线问题

(1)已知OA→＝(3，4)，OB→＝(7，12)，OC→＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；

(2)设向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．

【解】

AC→＝OC→－OA→＝(6，12)，所以AC→＝32AB→，

即AB→与AC→共线．

又因为AB→与AC→有公共点A，所以点A，B，C共线．

(2)法一：因为A，B，C三点共线，即AB→与AC→共线，

所以存在实数λ(λ∈R)，使得AB→＝λAC→.

4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），因为OC→＝14OA→＝14(0，5)＝0，54－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），因为OC→＝14OA→＝14(0，5)＝0，5，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，

即解得k＝－2或k＝11.

所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

法二：由已知得AB→与AC→共线，

因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

判断向量(或三点)共线的三个步骤

典型例题3向量共线的应用如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，

OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

【解】

所以C0，5.

因为OD→＝12OB→＝12(4，3)＝2，32，

所以D2，32.

设M(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，

7

AD→＝2－0，32－5＝2，－72.7

因为AM→∥AD→，

所以－72x－2(y－5)＝0，

即7x＋4y＝20.①

又CM→＝x，y－5，CB→＝4，74，

因为CM→∥CB→，所以74x－4y－54＝0，

即7x－16y＝－20.②

联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为12，.

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

1．平面向量数量积的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．■名师点拨公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件

(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是

θ＝a·b|a||b|＝)B．0D．2因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，C)B.6D.26(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

a与b的夹角，θ＝a·b|a||b|＝)B．0D．2因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，C)B.6D.26(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．■名师点拨

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，

|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即A，B两点间的距离为

（x2－x1）2＋（y2－y1）2.典型例题1数量积的坐标运算已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(A．－1C．1【解析】所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.【答案】

数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．典型例题2平面向量的模(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于(

A.5C.17(2)已知|a|＝213，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.【解】

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝5.(2)设a＝(x，y)，

x＝6，x＝－6，y＝4y＝－4.x2＋y2.(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，a·b225|a||b|＝25x＝6，x＝－6，y＝4y＝－4.x2＋y2.(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，a·b225|a||b|＝2555＝由a⊥b，解得2x－3y＝0.②

联立①②，解得或

所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，

所以|a＋b|＝65.

求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算

若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝典型例题3平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】

|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos

θ＝.

(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，

所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.

利用数量积求两向量夹角的步骤

余弦定理、正弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＝a2＋c2－2accos__B

6．4.3余弦定理、正弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＝a2＋c2－2accos__B第1课时1．余弦定理

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a2＝b2＋c2－2bccos__A符号语言c2＝a2＋b2－2abcos__C

■名师点拨余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论

cosA＝b2＋c2－a22bc；

cosB＝a2＋c2－b22ac；

cosC＝a2＋b2－c22ab．

■名师点拨

55)B.30D．25)B.3D．3132－1＝2×5－1＝－5，所以由余弦定理，

余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三55)B.30D．25)B.3D．3132－1＝2×5－1＝－5，所以由余弦定理，角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．典型例题1已知两边及一角解三角形

(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝，BC＝1，AC＝5，则

AB＝(

A．42

C.29

(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，c＝2，cosA

＝23，则b＝(

A.2C．2

【解析】(1)因为cosC＝2cos

得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×－3＝32，所以AB＝42，

故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcosA，

因为cosA＝23，所以3b2－8b－3＝0，

所以b＝3b＝－13舍去.故选D.

【答案】(1)A(2)D

3232)B．120°D．150°)B．60°D．150°(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，12×3×5

[变条件]将本例(2)中的条件“a＝5，c＝2，cosA＝23”改为“a＝2，c＝23，3232)B．120°D．150°)B．60°D．150°(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，12×3×5

cosA＝”，求b为何值？

解：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以22＝b2＋(23)2－2×b×23×，

即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.

解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．典型例题2已知三边(三边关系)解三角形

(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为(A．90°C．135°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(A．90°C．120°

【解析】所以最大角为B，最小角为A，

所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝9＋25－19＝2，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，

所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.

(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc

＝12.因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.

(2)B若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转将已知等式变形为a2＋b2－c22ab2ac2224a2

【答案】(2)B若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转将已知等式变形为a2＋b2－c22ab2ac2224a2

已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意]化为已知三边求解．典型例题3判断三角形的形状在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．【解】b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得

b

＝2bc×a2＋c2－b22ac×a2＋b2－c22ab，

所以b＋c＝4a44a2＝a2.

所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．

(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．(2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.

正弦定理在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，cabcsinAsinB＝sinC在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等abc2R，sinB＝2R，sinC＝2R；a＋b＋c因为正弦定理在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，cabcsinAsinB＝sinC在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等abc2R，sinB＝2R，sinC＝2R；a＋b＋c因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.acsinA＝sinC得＝

第2课时1．正弦定理

条件

结论

文字叙述■名师点拨对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

(2)sinA＝

(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；

(4)sinA＋sinB＋sinC＝2R.

典型例题1已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．【解】

由a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.

因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝

b＝csinB＝10×sin（A＋C＝20×＝52＋56.(1)因为ac2sinAsinC，所以2csinB12sinC＝ac3sinA＝sinC，所以2basinB＝sinA，·sin5π

sinπ3

2＋6，所以b＝csinB＝10×sin（A＋C＝20×＝52＋56.(1)因为ac2sinAsinC，所以2csinB12sinC＝ac3sinA＝sinC，所以2basinB＝sinA，·sin5π

sinπ34sinCsin30°4

已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．典型例题2已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；

(2)a＝2，c＝6，C＝π3.

【解】

所以sinB＝bsinAa＝20sin60°10＝3>1，

所以三角形无解．

(2)因为sinA＝asinCc＝.

因为c＞a，所以C＞A.所以A＝π4.

所以B＝5π12，b＝＝3＋1.

[变条件]若本例(2)中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B,b.

解：因为sinC＝csinAa＝.

所以C＝π3或2π3.

A为直角一解无解两解无解无解)B．等边三角形D．等腰直角三角形由正弦定理得：acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－A为锐角一解无解无解一解一解a＝bsinA一解

当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.A为直角一解无解两解无解无解)B．等边三角形D．等腰直角三角形由正弦定理得：acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－A为锐角一解无解无解一解一解a＝bsinA一解

当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角a>ba＝b

a>bsinAa<ba<bsinA典型例题3判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(A．等腰三角形C．直角三角形【解析】B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取余弦定理、正弦定理应用举例定义在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角图示

【答案】A在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取余弦定理、正弦定理应用举例定义在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角图示

[变条件]若把本例条件变为“bsinB＝csinC”，试判断△ABC的形状．解：由bsinB＝csinC可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sinB＝sinC．所以B＝C.故△ABC为等腰三角形．

判断三角形形状的两种途径

[注意]公因式，以免漏解．

第3课时1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高．■名师点拨实际测量中的有关名称、术语名称

仰角

俯角

向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小边，转向目标方向线从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)BCAB3向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小边，转向目标方向线从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)BCAB32×10＝52＝300.故以正南方向为始60°（指从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方方向角于90°)

形成的角）

方位角

典型例题1测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．【解析】＝45°，

由正弦定理，可得sin60°＝sin45°，

所以BC＝6(海里)．

【答案】56海里

[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝10BC

＝103.

即B，C间的距离为103海里．

测量距离问题的解题思路

600BC331006α的值．600BC331006α的值．2＋64α＝DCCE＝150＋150100632－63＝3转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．典型例题2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600m，故由正弦定理得sin45°＝sin30°，

解得BC＝3002m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×＝

1006(m)．

【答案】

[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，

∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE

＝3002sin75°

＝30