2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat25页2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知复数，则的虚部为（）．A． B．3 C．1 D．【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，的虚部为1．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A．50% B．30% C．10% D．60%【答案】A【解析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.3．“”是“”成立的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“”得，由得，由“”得不到“”故充分性不成立，由“”可以得到“”故必要性成立.则“”是“”成立的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题．4．已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（）A．0 B．1 C． D．3【答案】A【解析】根据，即可得出.【详解】解：和，因为直线的一个方向向量为故设．，，．解得，．．故选：．【点睛】本题考查了直线的方向向量、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（）A．12 B．33 C．06 D．16【答案】C【解析】第1行第9列和第10列的数字为63，所以选择的数为17，12，33，06，32，22，10．第四个数为06，选C.6．函数的极大值是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】求出函数的导数，令，解得，2，利用导数研究其单调性、极值即可得出．【详解】解：，．．令，解得，．令，解得，或．令，解得．函数在，上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极大值，．故选：．【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，其和等于的概率．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（）．A．6 B．4 C．2 D．1【答案】D【解析】根据抛物线的定义与简单几何性质，求出抛物线的准线方程以及与抛物线的交点横坐标，再求的值．【详解】解：抛物线的准线方程是，焦点为，由，解得，所以抛物线与抛物线在第一象限的交点，则，解得．故选：．【点睛】本题考查了抛物线的定义与简单几何性质应用问题，属于基础题．9．十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（）①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【解析】根据题意分析①②③④与原命题的关系,依据命题之间的关系及用特殊值法来判断真假即可【详解】由题,将费马大定理写为“若,则”的形式为“若当整数时,则关于、、的方程没有正整数解”,为真命题；则其命题的否定为：当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,应为假命题,故②错误；其逆否命题为：若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数,应为真命题,故④正确；其否命题为：当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,但时,若、、分别为3、4、5,显然成立,命题为真,故③正确；由③正确可得到,①显然错误；故选：D【点睛】本题考查命题的四种关系,考查命题真假的判定,考查全称命题,考查特殊值法解决问题10．函数的图象大致是()A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数为偶函数，排除选项.当时，研究函数的导数零点的情况，得到函数极值点的个数，再结合，确定正确选项.【详解】易知函数是偶函数，故排除A.当时,,则可得：,令，作出的图象如图：可知两个函数图象在[0，π]上有一个交点，就是函数有一个极值点，且，所结合选项可知选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用函数导数判断函数的图像，属于中档题.11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据双曲线的定义和矩形的面积公式，以及离心率的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得，联立解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，即，即，由，得，即，即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，故选B．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．12．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令,所以由可得,设,,当时,,所以函数单调递减,当时,,所以函数单调递增,而,显然当时,，当时,因此函数的图象如下图所示：要想关于的方程有三个不等的实数解,且,结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且,,,.故选：B【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.二、填空题13．设，则________．【答案】1【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【详解】解：，，则．故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．【答案】10【解析】由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差．【详解】解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在之间，乙组数据分布在之间，所以甲组数据较为稳定，计算，方差是．故答案为：10．【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题．15．在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为________．【答案】【解析】根据双曲线的定义先求出的范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：若方程表示双曲线，则满足，得，则对应的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合双曲线的定义求出的等价条件是解决本题的关键．比较基础．16．已知是圆上一动点，为圆所在平面内一定点（为圆的圆心），线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹可能是________．（写出所有正确结论的序号）①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线；⑤一个点；⑥直线．【答案】①②③⑤【解析】对与圆的位置关系进行讨论，利用圆锥曲线的定义得出结论；【详解】解：是线段的中垂线上的点，，（1）若在圆外部，则，，点轨迹是以，为焦点的双曲线；（2）若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点；（3）若在圆内部，则，，点轨迹是以，为焦点的椭圆；（4）若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，点轨迹是以为圆心，以为半径的圆．综上，点轨迹可能是①②③⑤四种情况．故答案为：①②③⑤【点睛】本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．三、解答题17．为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．【答案】（1）2（2）所有基本事件如下：，，，，，，，，，，【解析】（1）直接求出其对应的比列即可得到其结果；（2）列出所有的基本事件共有10种，其中满足题意的有7种，即可求得其对应的概率．【详解】（1）如图易得，消费金额在与的人数比为，∴这人中消费金额不低于元的人数为．（2）由（1）得，抽取的5人中购买金额低于100元的有3人，记为，，，购买金额不低于100元的有2人，记为，，所有基本事件如下：，，，，，，，，，，共有10种，其中满足题意的有7种，所以．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想等，属于基础题.18．已知命题复数在复平面上对应的点位于第二象限，命题椭圆的离心率,（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用条件列出不等式组，求出的范围；（2）通过是真命题，求出的范围，利用复合命题的真假推出是范围即可．【详解】解：（1）复数在复平面上对应的点位于第二象限，解得．（2）当为真时，即椭圆的离心率,，，，则，由题意，，解得，即取值范围为，∴或，由为真命题，故为真命题且为真命题，∴或，故的取值范围为．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数以及椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．19．在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差20151332历史偏差（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．附：参考公式与参考数据，，，．【答案】（1）（2）93分【解析】（1）由题意，计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；（2）由题意，设出该同学的物理成绩，写出物理偏差和数学偏差，利用回归方程求出这位同学的物理成绩．【详解】（1）由题意，，，，，∴线性回归方程为．（2）由题意，设该同学的历史成绩为，则历史偏差为，又该同学的数学偏差为，由（1）得，解得，∴预测这位同学的历史成绩为93分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，属于基础题．20．如图，在四棱锥，为矩形，，，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）若为中点，直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）推导出平面，，从而平面，由此能证明平面平面．（2）由平面，为在平面内的射影，从而即为直线与平面所成的角，取中点，连结，则，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，矩形中，，∴平面．∵平面，∴．又∵，，平面，平面．∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）解：由（1）知平面，为在平面内的射影，∴即为直线与平面所成的角，由题意，，，取中点，连结，则，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴．同理易得，平面的一个法向量为，由，∴二面角的正弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的求法，考查运算求解能力，属于中档题．21．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上顶点，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同两点，，已知，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用三角形的面积，结合离心率，求出，，即可得到椭圆方程．（2）由，消去整理得：，设，，，，利用韦达定理，又设中点的坐标为，，求出的