第22章一元二次方程根与系数关系

第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法5.一元二次方程的根与系数的关系金榜行动创优课堂•金版 九年级数学(上册)•HS【思路分析】将要求的式子变形为αβ＋3(α＋β)＋9，根据根与系数的关系可直接得出α＋β

和αβ

的值，将其代入可得解．【规范解答】由已知可得α＋β＝1，αβ＝－3，所以(α＋3)(β＋3)＝αβ＋3α＋3β＋9＝αβ＋3(α＋β)＋9＝－3＋3×1＋9＝9.【思路分析】由原方程有两根，得△≥0

可求得a

的取值范围，把x1＋x2

及x1·x2的值代入x1x2－3x1－3x2－2＝0

可求得a

的值，然后根据a

的范围进行取舍，最后将a

的值代入即可解决问题．【规范解答】∵关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0

有两根x1、x2，x1＋x2＝2－2a，

①∴x1·x2＝a2－7a－4，

②△＝4(a－1)2－4(a2－7a－4)≥0.③由③，得a≥－1.∵x1x2－3x1－3x2－2＝0，x1·x2－3(x1＋x2)－2＝0，∴a2－7a－4－3(2－2a)－2＝0.解得a1＝－3，a2＝4，∵a≥－1，∴a＝4.【方法归纳】根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数解为前提的，所以在利用根与系数的关系求方程的某个参数值时，要注意检验这个参数值是否使这个方程的根的判别式b2－4ac≥0.－3132134CA．x2＋2x－4＝0C．x2＋4x＋10＝0B．x2－4x＋4＝0D．x2＋4x－5＝0A．2C．4B．3D．87．已知m、n

是关于x

的一元二次方程x2－3x＋a＝0

的两个解，若(m－1)(nB．4D．105．下列一元二次方程两实根和为－4

的是(

D

)6．已知一元二次方程

x2－6x＋c＝0

有一个根为

2，则另一根为(

C

)－1)＝－6，则

a

的值为(

C

)A．－10C．－4CDA．x2－10x＋9＝0C．x2－10x－9＝0B．x2＋10x＋9＝0D．x2＋10x－9＝010．解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8

和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为－9

或－1，那么正确的方程为(

A

)若关于

x

的方程

x2＋(a－1)x＋a2＝0

的两根互为倒数，则

a＝

－1

.设a、b

是方程x2＋x－2017＝0

的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为

2016

.13．已知α、β

是一元二次方程2x2－3x－1＝0

的两个实数根，求下列代数式的值：α(1)(α－β)2；

(2)β＋

；

(3)(α－2)(β－2)．α

β3

1解：∵α＋β＝2，αβ＝－2(1)(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ9

1

17＝4＋4×2＝

4β

α(2)α＋β＝(α＋β)2－2αβαβ94＋1－213＝

1＝－

2(3)(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋41

1＝－2－3＋4＝214．已知关于x

的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0

有实数根．(1)求m

的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m

的取值范围．解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4；(2)根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m

的范围为3≤m≤4.

2a

a

a

2a 解：(1)∵x1＋x2＝－a－6，x1x2＝a－6，∴由x1x2＝4＋x1＋x2

得a－6＝4－a－6，∴a＝24，当a＝24

时，a－6≠0，Δ＞0，∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2

成立1

2

1

2

1

2－2a