静力学和材料力学3空间力系

第3章

空间力系※

空间汇交力系※

空间力对点的矩和力对轴的矩※

空间力偶理论※

空间任意力系的简化※

简化结果分析※

空间任意力系的平衡方程※

空间约束和约束反力※

空间力系平衡问题举例※

重心※

结论与讨论第3章

空间力系工程中常常存在着很多各力作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。第3章

空间力系§3-1空间汇交力系1.

空间力的投影和分解F

=

F

cos

g

F

=

F

cos

b

zyFx

=

F

cosa

abgOyFz直接投影法xF

=

Fx+Fy+Fz=

Fx

i+Fy

j+Fz

ky

Fz

=

0

F

=

0

Fx

=

02.

空间汇交力系的合成与平衡条件空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。n=

Fxi

i

+

Fyi

j

+

FzikFR

=

F1

+

F2

++

Fn

=

Fii

=1RyRRxRy

zR

xFR

FF

FF

F+

(

F

)

+

(

F

)F

=

(

F

)22

2cos(FR,

k

)=

z

cos(F

,

j)

=cos(F

,

i)

=平衡条件nFR

=

Fi

=

0i

=1平衡方程求：绳的拉力和墙体的约束反力。例题1OABCEgPyxzFEFBFA解：取球体为研究对象yxEzF

-

F

sin

g

sin

45

=

0B

E

F

=

0,F

-

F

sin

g

cos

45

=

0A

E

F

=

0,

F

=

0,

F

cos

g

-

P

=

0解得：22

P

tan

gFA

=

FB

=FE

=

P

/

cos

g重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承。已知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，b=45o

，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。ABCDEbaaPTDTCAyxzTDTCS’Sy

PxA解:(1)研究A，受力分析并画受力图；-

S

cos

b

-

P=

0(2)列平衡方程；SZ

=0,cos

45P

=

-

1000解得：S

=-cos

b=-1414N

(压力)(3)将各力投影到水平面上得平面汇交力系；其中：S'

=

S

sin

b524

2=122

+

242cosa

=

EA

=DA(4)列平衡方程；SX

=

0,TC

sina

-TD

sina

=

0SY

=

0,-TC

cosa

-TD

cosa

-

S

,

=

0解得：TC

=

TD

=

559N例题2xyqβγzFFxFyFzA例3-1:

已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F

的三个正交分量Fx，Fy，Fz的大小各为4.5

kN，6.3

kN，18

kN，试求力F

的大小和方向.19.6==

18FF

19.6F

19.6F

4.5=

0.919

,

g

=

23cos

g

=

FzF

6.3cos

b

=

y

=

=

0.322

,

b

=

71.1cosq

=

x

==

0.220，q

=

76.7力F

的方向余弦，及与坐标轴的夹角为F

=

F

2

+

F

2

+

F

2

=19.6

kNx

y

z\力F

的大小解：由题知：y

zxF

=

4.5kN

;F

=6.3kN

;F

=

18

kN例题3简易起重机为空间铰接结构形成正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。解：1.取球铰链A研究，作受力图。建坐标系Bxyz。由于ABCD是正交锥，所以q

=∠CBD=∠BDC=∠DCB=＝60o。且y轴平分∠CBD，EC，DE分别平分∠DCB

和∠BDC。2.列平衡方程：为求各力在轴x，y上的投影，采用间接投影法，注意：力F

在坐标面Oxy上投影为零。

Fx

=

0

:

Fy

=

0

:

Fz

=

0:FAC

cosq

sin

30

+

FAD

cosq

sin

30

-

FAB

cosq

=

0-

(FAC

+

FAD

+

FAB

)sin

q

-

F

=

0FAC

cosq

cos

30

-

FAD

cosq

cos

30

=

0解得,负号表示：受压力F3sin

qFAB

=

FAC

=

FAD

=-注：可利用对称性，直接写出FAD＝FAC，以简化计算。例题43.取球铰B

研究,作受力图，列平衡方程：

Fz

=

0

,FBA

sinq

+

FB

=

0

Fx

=

0

,

FBC

=

FBD

Fy

=

0

,

FBC

cos

30

+

FBD

cos

30

+

FBA

cosq

=

03

93

sinqFBDB

BC解得：F

=

F;

F

=

F

=

3F

cot

q由前计算得：FBA

=FAB

=-由结构和荷载的对称性，可得取球铰C

，D研究的计算结果：3

9CDC

DF

=

F

=

F

;F

=

3F

cot

q§3-2力对点的矩和力对轴的矩1.

力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对O点之矩取决于：（1）力矩的大小；力矩的转向；力矩作用面方位。★须用一矢量表征MO(F)

=Fh=2△OABOA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)F

=

Fx

i

+

Fy

j

+

Fz

kr

=

xi

+

yj

+

zkMO(F)定位矢量i

j

kx

y

zFx

Fy

Fz=

(

yFz

-

zFy)i

+

(zFx

-

xFz

)

j

+

(xFy

-

yFx

)kM

O

(F

)

=

r

·

F

=2.

力对轴的矩BAFOxzhFxyybFz★力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F) =

MO(Fxy)=±Fxy

h

=

±2

△OAbMz(F)力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。☆当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。yzOxFA(x,y,z)FzFxFyFyFxBaFxy

bxyx

z

yy

x

zM

(F

)

=

xF

-

yF

M

y

(F

)

=

zFx

-

xFz

M

(F

)

=

yF

-

zF

M

z

(F

)

=

MO

(Fxy

)

=

MO

(Fx

)

+

MO

(Fy

)=

xFy

-

yFx力对轴之矩的解析表达式F

=

Fx

+

Fy

+

Fz=

Fx

i

+

Fy

j

+

Fz

kzO

zyO

y[M

(F

)]

=

M

(F

)

[M

(F

)]

=

M

(F

)

[M

O

(F

)]x

=

M

x

(F

)

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。Oi

j

kx

y

zFx

Fy

Fz=

(

yFz

-

zFy)i

+

(zFx

-

xFz

)

j

+

(xFy

-

yFx

)kM

(F

)

=

r

·

F

=x

z

yM

(F

)

=

xF

-

yF

M

y

(F

)

=

zFx

-

xFz

3.

力对点的矩与力对轴的矩的关系M

x

(F

)

=

yFz

-

zFy

Mz(F)(x,y,z)FxyMO

(F

)

=

2DOABMz(F) =

MO(Fxy)=

±2

△OabDOAB

cos

g

=

DOabMO

(F

)

cosg

=

M

z

(F

)M

O

(F

)]z

=

M

z

(F

)M

O

(F

)]z

=

M

z

(F

)[MO

(F

)]x

=

M

x

(F

)

[MO

(F

)]y

=

M

y

(F

)

[MO

(F

)]z

=

M

z

(F

)

zO

zyO

y[M

(F

)]

=

M

(F

)

[M

(F

)]

=

M

(F

)

[M

O

(F

)]x

=

M

x

(F

)

O求：

M

(F)例题5已知：F、a、b、a、b解：(1)

直接计算i

j

kx

y

zFx

Fy

FzMO

(F

)

=

Fb

sin

a

i-Fa

sina

j+

(Fb

sin

a

sin

b

-

Fa

sin

a

cos

b

)

kMO

(F

)

=

Fb

sin

a

i-Fa

sina

j+

(Fb

sin

a

sin

b

-

Fa

sin

a

cos

b

)

kFx

=

-F

cosa

sin

bFy

=

-F

cosa

cos

bFz

=

F

sin

aM

O

(F

)

=

r

·

F

=x

=

ay

=

bz

=

0MO

(F

)

=

M

x

(F

)

i

+

M

y

(F

)

j

+

M

z

(F

)k=

Fb

sin

a

i

-Fa

sina

j+

(Fb

sin

a

sin

b

-

Fa

sin

a

cos

b)

k(2)

利用力矩关系=

Fb

sina

sin

b

-

Fa

sina

cosbM

x

(F

)

=

Fzb

=

Fb

sin

aM

y

(F

)

=

-Fza

=

-Fa

sin

aM

z

(F

)

=

Fxb

-

Fy

azFOabcAxyaFaba2

+

b2

+

c2=已知：F

、a、b、c求：

力F

对OA轴之矩例题6OM

(P)=

Fbii

j

kM

O

(P

)

=

r

·

P

=

0

b

00

0

F解：（1）计算MO(P)（2）利用力矩关系MOA

(F

)

=

M

O

(F

)

cosaOABCFDi=

Fb

i

+

Fb

j

+

Fb

k2

2

2

2

2j

kb

00

-

F

/

2

F

/

2=

-

b

/

2已知：OA=OB=OC

=b,

OA⊥OB⊥OC.例题7求：力F

对OA

边的中点D之矩在AC方向的投影。解：利用力矩关系xyzbFkFj

+F

=

-rB

=

-

2i

+

bjM

D

(F

)

=

rB

·

F22222

2

2

2

2DM

(F

)

=

Fb

i

+

Fb

j

+

Fb

kn

=

-

1

i

+

1

k2

2AC=

(

Fb

i

+

Fb

j

+

Fb

k

) (-

1

i

+

1

k

)2

2

2

2

2

2

2=

-

Fb4M

AC

(F

)

=

M

D

(F

)

nACOABCFDxyz手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的

长度都等于l。试求力F

对x，y和z三轴的矩。all解1

解析法：根据式(3-12)求解M

x

(F)

=

yFz

-

zFyM

y

(F)

=

zFx

-

xFzM

z

(F)

=

xFy

-

yFx力F

作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：x

=

-l

;

y

=

l

+

a;

z

=

0Fx

=

F

sin

q

;

Fy

=

0

;

Fz

=

-Fcosq由式(3-12)得Mx

(

F

)

=

yFz

-

zFy

=

(

l

+

a

)(

-F

cosq

)

-0

·0

=

-F(

l

+

a

)cosqMy(

F

)

=

zFx

-

xFz

=

0·F

sinq

-(

-l

)·(

-Fcosq

)

=-FlcosqMz

(

F

)

=

xFy

-

yFx

=

-l

·

0

-

(

l

+

a)·

F

sinq

=

-F

(

l

+

a)

sinq例题8§3-3空间力偶力偶矩的大小；力偶的转向；力偶作用面的方位。M自由矢量空间力偶的定义:空间力偶的等效条件两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。AFFBM空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡M

=

Mx

i

+

M

y

j

+

Mz

kM

x

=

M1x

+

M

2

x

++

M

nx

=

MixM

y

=

M1

y

+

M

2

y

++

M

ny

=

MiyM

z

=

M1z

+

M

2

z

++

M

nz

=

Miz合力偶矩矢：M=M1+M2+…+Mn=∑MiMM+

M+

MM

=

MMM

yz

22y2xcos(

M

,

k

)

=

M

zcos(

M

,

j)

=cos(

M

,

i)

=

M

xiziy

M

=

0

M

=

0

Mix

=

0

平衡条件=

0n

M

ii

=1平衡方程M

=

M

2

+

M

2

+

M

2

=

284.6

N

mx

y

z合力偶矩矢的方向余弦cos(

M,i

)

=

-0.6786;

cos(

M,

j

)

=

-0.2811;cos(

M,k)

=

-0.6786M1M2M3M4M545oxy工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小

和方向。解：四个面上的力偶用力偶矩矢表示,如图，所以M

=

-M

-

M

cos

45

-

M

cos

45

=

-193.1

N

mx

3

4

5M

y

=

-M

2

=

-80

N

mM

=

-M

-

M

cos

45

-

M

cos

45

=

-193.1

N

mz

1

4

5所以合力偶矩矢的大小Z例题9zyOF1xF2F31F3FF2图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶(F1,F/

)的矩M

=20

N·m；力偶(F

F/¢

)的矩M

=20

N·m；力偶（F

,F/¢

）的矩M

=201

1

2,

2

2

3

3

3N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。解：1在坐标系oxyz中作出各力偶矩矢2.合力偶矩矢M

在坐标轴上的投影Mx,My,MzM

=

M

+

M

+

M

=

0x

1

x

2

x

3

xM

y

=

M

1

y

+

M

2

y

+

M

3

y

=

11.2

N

mMz

=

M

1

z

+

M

2

z

+

M

3

z

=

41.2

N

m3.合力偶矩矢M

的大小和方向:如图所示。MMMMcos(M

,j

)=Mzyx

y

z=

0.965

,

(M

,k

)=

15.2=

0.262

,

(M

,

j

)=

74.8

;

cos(M

,k

)==

0

,

(

M

,i

)

=

90M

=

M

2

+

M

2

+

M

2

=

42.7

N

m;

cos(

M

,i

)

=

M

xxzy45°OM145°M2M3xzyOM1M245°

M345°M74.8O(

3

-

19

)4.为使这个刚体平衡，需加一力偶的力偶矩矢M4

，根据式(3-19)S

M

i

=0知：M4=合力偶矩－M.例题10§3-4空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyzM1F1M3F2M2xzyOFRMOFn

=

Fnx

F3F1

=

F1

, F2

=

F2

,

,M1

=

MO

(F1

),

M

2

=

MO

(F2

),

,

M

n

=

M

O

(Fn

)nnM

O

=

M

O

(Fi

)i

=1FR¢=

Fii

=1RF′MO主矢主矩OyOOxOzx

yOMOM222

M

(F

)cos(

M

O

,

k

)=

z

M

M

(F

)cos(

M

,

j)

=

M

(F

)cos(

M

,

i)

=+[

M

(F

)]M

=

[

M

(F

)]

+[

M

(F

)]RRxRzyR

xFR¢

FF

¢

FyF

¢

F+

(

F

)+

(

F

)F

¢=

(

F

)222cos(FR¢,

k

)=

z

cos(FR¢,

j)

=cos(F

¢,

i)

=xzyORFMO§3-5

空间任意力系的简化结果分析F′R=0，MO≠0F′R≠

0，MO

≠0F′R≠

0，MO=0F′R=0，MO=0F′R=0，MO≠0ni

=1M

O

=

M

O

(Fi

)★

由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。1.

空间任意力系简化为一合力偶的情形oRFo1FRMO(FR)=

FRd=MO=∑

MO(Fi)MO(FR)=

∑

MO(Fi)Mz(FR)=

∑

Mz(Fi)FR′≠

0，MO

≠0

且

FR

⊥′

MOMoFR′′FRFRdo1o2.

空间任意力系简化为一合力的情形·

合力矩定理F′R≠

0，MO=0合力的作用线通过简化中心FR

O

FR′≠

0，MO

≠0

且

FR

∥′

MoMOFROFRMOOORF力螺旋力螺旋左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋3.

空间任意力系简化为力螺旋的情形ORFMo′oM

′FR′≠0，MO

≠0

，且为一般状态FRMo′O1dOOMOFRaM

O¢

=

M

OM

O¢

=

M

O

cosasin

aFR¢FR¢d

=

M

O

=

M

O

sin

aF′R=0，MO=0原力系平衡4.

空间任意力系简化为平衡的情形OxyF1F1

=

F2

=

FABCDEGF2H棱长为a

的正方体上作用的力系如图示。则（1）力系的主矢量；主矢量在OE

方向投影的大小；力系对AC轴之矩；力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。z例题11OxyzF1F1

=

F2

=

FABCDEGF2H2222F.F

;Rx

=

F1

cos

45

-

F2

cos

45

=

0;F

¢F

¢

=

F

sin

45

=Rz

2F

¢

=

F

cos

45

=Ry

1解:

（1）力系的主矢量2F

¢=

2

F

(

j

+

k

)R（2）主矢量在OE

方向投影的大小2F

¢=

2

F

(

j

+

k

)R33(i

+

j

+

k

)nOE

=R

OE36

FF

¢=

FR¢

nOE

=（3）力系对AC

轴之矩22022k02Fja0j

k

i0

a

+

02F

-

2FiM

A

=

-

a2FOxyzF1F2F1

=

F2

=

FABCDEGHFaj22M

A

=12222=

Fa2=(-i

+

j)FajnACM

AC

(F

)

=

M

A2F

¢=

2

F

(

j

+

k

)R（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小A22

(

j

+

k

)

=

1

Fa2

2M

¢=

2

FajOxyzF1F1

=

F2

=

FABCDEGF2H如图示，正方体边长为a，其上作用有力F1，F2，作用位置如图示。矩为M1的力偶作用在OBGE平面内，矩为M2的力偶作用在BCDG平面内。求各力在x，y，z轴上的投影和各力与力偶对x，y，

z轴的矩，并求力系对O点的简化结果。AxFCDyBzEF2450F11MOGM

2A各力在x,y.z轴上的投影22F1F

=

-F

cos

450

=

-1x

10122

F=F

1

y=

F1

cos

45F1z=

0212FF

=

F

cos

450

cos

450

=2

x

2002

y

2F

=

-F

cos

45

cos

45221=

-

F222

FF

=

F

sin

450

=2

z

2例题12AxFCDBE1F2450FM1OGM

2A各力及力偶对x,y.z轴之矩zx01

1M

(F

)=

-F

cos

45

a12=

-

2

F

aaM

(F

)y011=

-F

sin

45122=

-

F

aM

(F

)z011=

F

cos

45

aF1a22=x020022F

sin

45

acos

45

a

+M

(F

)=

F

cos

45y=

1

F

a

+

2

F

a2

2

2

2y0022cos

45

aM

(F

)=

F

cos

45F

a212=z0

022M

(F

)=

-F

cos

45

cos

45

a221=

-

F

a122

MM

=

M

cos

450=1x

122M10M1

y

=

-M1

sin

45

=

-M1z

=

02

xM

=

022

yM

=

M2

zM

=

0AxFCDyBzE1F2450F1MOGM

2A力系对o点的主矢2

1Fx¢=

-

2

F1

+

2

F22

F

-

1

F2

1

2

2Fy¢=222

FzF

¢=2

1

2

1

2

FR¢=

-

F1

+

F2

i

+

F1

-

F2

j

+

F2

k2

2

2

2

2AxFCDyBzEF2450F11MOGM

2A力系对o点的主矩M

=

-

2

Fa

+

1

F

a

+

2

Mx

2

1

2

2

2

1M

=

-

2

Fa

+

1

F

a

-

2

M

+

My

2

1

2

2

2

1

21

2

12

2zM

=

2

Fa

-

1

F

aMo

=

-

F1a+

F2

a

+

F2

a

+

M1

i2

2

2

22

1

2

2

+

-

F1a

+

F2

a

-

M1

+

M

2

j2

2

23

1

2

+

F1a

+

-

F2

a

k2

22

1§3-6空间任意力系的平衡方程RMo

=

0平衡条件：F

′=0x

M

y

(F

)

=

0

M

z

(F

)

=

0

M

(F

)

=

0

Fz

=

0

Fx

=

0

Fy

=

0平衡方程:空间平行力系yx

M

(F

)

=

0

M

(F

)

=

0

Fz

=

0平面任意力系

M

z

(F

)

=

0

Fx

=

0

Fy

=

0FR

=

0MO

=

0∑Fix

=0∑

Fiy

=0∑

Fiz

=0∑

Mx(Fi)

=0i∑

My

(F

)

=0∑

Mz

(Fi)

=0一般形式：平面力系√√√√√√汇交力偶空间平力系

系

行力系√√√√√√§3-6空间任意力系的平衡方程空间力系平衡方程：1

x

iM

=

0

Fxi

=

0

Fyi

=

0

M

xi

=

0

M

yi

=

0

M

zi

=

0

Fxi

=

0

Fyi

=

0

Fzi

=

0

M

xi

=

0

M

yi

=

0

M

zi

=

0基本形式x2ix1iziM

M

=

0=

0

M

=

0

Fxi

=

0

M

xi

=

0

M

yi

=

021

x3ix

ix

iM

=

0M

=

0M

=

0

M

xi

=

0

M

yi

=

0

M

zi

=

0四力矩式 五力矩式六力矩式平衡的充要条件仅为力系平衡的必要条件§3-6空间任意力系的平衡方程§3-7空间约束类型及其约束反力约束反力未知量约

束

类

型AFAFAzFAyAA径向轴承

圆柱铰链

铁轨

蝶铰链§3-7空间约束类型及其约束反力约束反力未知量约束类型FAxFAzFAyA球形铰链止推轴承FAxFAzMAzA

FAyMAyFAz

MAyA

FAy导向轴承万向接头约束反力未知量约束类型FAz带有销子的夹板导轨MAxFAxMAzA

FAyFAzMAzMAxA

FAyMAyMAxFAxFAzMAzA

FAyMAy空间的固定端支座约束类型简图约束力径向轴承蝶形铰链圆柱铰链球形铰

推力轴承空间固定端abcABPF1F2xy已知：a

=300mm，b=400mm，c=600mm，R=250mm，r

=100mm，P=10kN，F1=2F2。求：F1、F2

及A、B处反力。z例题13解：取系统为研究对象

M

y

(F

)

=

0,

M

x

(F

)

=

0,

M

z

(F

)

=

0,

Fx

=

0,

Fz

=

0,F1

=

2F2

=

8kN

FAx

=

-15.6kN

FAz

=

6kNFBx

=

3.6kNFBz

=

4kNabcPF1F2x(F2

-

F1

)R

+

Pr

=

0FBz

(b

+

c)

-

Pb

=

0(F2

+

F1

)a

-

FBx

(b

+

c)

=

0F2

+

F1

+

FAx

+

FBx

=

0FAz

+

FBz

-

P

=

0zyAFAxFAzBFBxFBzyABCDM2M3bcM1axz例题14已知：力偶矩M2

和M3求：平衡时M1

和支座A、D的反力。yABCDM2M3bcM1axzFAyFAzFDyFDzFDx解：取曲杆为研究对象

M

(F

)

=

0,

F

=

0,a

-

M

2

=

0M1

-

FAz

b

-

FAy

c

=

0xFAy

+

FDy

=

0yFAz

+

FDz

=

0M

3

-

FAy

a

=

0FAzFDx

=

0

Fx

=

0,

M

y

(F

)

=

0,

Fz

=

0,

M

z

(F

)

=

0,aaMaDyAyDzAzDx3213M

b

+

M

c,

M

==

-F

=

M

2

,

F

=

-F

=F

=

0,

F已知：

F

=

2000N,

F2

=

2F1

,

q

=

30

,

b

=

60

,

各尺寸如图求：

F1

,

F2

及A、B处约束力解：研究对象，曲轴列平衡方程x

F

=

0BxAx+

F

=

0

Fy

=

0F

sin

30

+

F

sin

60

+

F1

20

=

0例题14z

F

=

0Bz1

2

Az-

F

cos

30

-

F

cos

60

-

F

+

F

+

F

=

0

M

x

(F

)=

0F

cos

30

·

200

+

F

cos

60

·

200

-

F

·

200

+

F

·

400

=

01

2

BxM

(F

)=

0y22

1F

R

-

D

·(F

-

F

)=

0

M

(F

)=

0z(F

sin

30

-

F

sin

60

)·

200

-

F

·

400

=

01

2

BxF1

=

3000N,

F2

=

6000N,FAx

=

-1004N,

FAz

=

9397N,FBx

=

3348N,

FBz

=

-1799N,1.

重心的概念及其坐标公式zOxyPiC△VixCyCxiyiz

PzCiiCiCyx

Pi

PzzC

=

i

i

P

P

y=

i

i

P

P

x=

i

iVVVCCCx

=

VxdV

,

y

=

V

ydV

,

z

=

VzdV由合力矩定理，得若物体是均质的，得§3-9

重心曲面：

A

AC

A

AC

A

ACx

=zdA,

z

=ydA,

y

=xdAlllCCC曲线：x

=

l

xdl

,

y

=

l

ydl

,

z

=

l

zdl均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心LCa2a

Rcos

q

dqR

2-a==

L

x

dL\

xxC

=

Rsinaa求半径为R，顶角为2a

的均质圆弧的重心。O解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段dL=R

dq

x

=

R

cosq例题15如图，求L形截面的重心坐标。1

2i

cic10

·

120

+70

·

10=

19.7

(

mm

)=

(

10

·

120

)·

5

+

(70

·

10

)·(

10

+

35

)A A

+

AA1

zc

1

+

A2

zc

2=z

=

A

z1

2c10

·

120

+70

·

10=

(

10

·

120

)·60

+

(70

·

10

)·

5

=

39.7

(

mm

)A A

+

A=

A1yc

1

+

A2

yc

2y

=

Ai

yci①解1：分割法：由式（3-30a）得8010zyoA1A2②解2：负面积法A1

2c80

·

120

-70

·

110=

(

80

·

120

)·

40

+

(

-70

·

110

)·(

10

+

35

)

=

19.7

(

mm

)A

+

AA

z

+

A

z=

1

c

1

2 c

2z

=

Ai

zciA1

2c80

·

120

-70

·

110=

(

80

·

120

)·60

+

(

-70

·

110

)·(

10

+

110

/

2

)

=

39.7

(

mm

)A

+

A=

A1

yc

1

+

A2

yc

2y

=

Ai

yciz2C1C8012010y

100A1A2C例题15（1）用组合法求重心(a)

分割法(a)

分割法x1=－15,x2=5,x3=15,y1=45,y2=30,y3=5,A1=300A2=400A3=300=

27mm=

2mmA1

+

A2

+

A3

Ay

=

Ax

=iA1

+

A2

+

A3

y

A y

A

+

y

A

+

y

Ai

i

=

1

1

2

2

3

3ci

x

A x

A

+

x

A

+

x

Ai

i

=

1

1

2

2

3

3c解:

建立图示坐标系求：Z

形截面重心。例题16oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm(b)负面积法（负体积法）(b)负面积法（负体积法）40mm50mmxyo20mm解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0321x

=

40x

=

-

4R

=

-

40

,

x

=

25,22=

50p

,

A3

=

-p

r

=

-25pA2

=1000,3p

3pp

R2A1

==19.65mmA1

+

A2

+

A3

Ax

=i

x

A x

A

+

x

A

+

x

Ai

i

=

1

1

2

2

3

3c求：图示截面重心。例题17振动器中的偏心块为一等厚度的均质体，已知R=10cm，r=1.3cm，b=1.7cm；求偏心块中心的位置。Rbr解:

(1)将截面看成两个半圆相加，再减去中间的小圆，三部分的面积和重心分别为：2211

4RR

,

y1

=

3pA

=

p3p21222y=

-

4

r

+

b)A

=

p

(r

+

b),3

3A

=

-pr

2

,

y

=

0(2)

用组合法求组合图形的重心：(y是对称轴，则xC=0

)yC321=

3.91cm=A

+

A

+

AA

y

+

A

y

+

A

y=

1

1

2

2

3

34

R3

-

(r

+

b)33p

[R2

+

(r

+

b)2

-

2r

2

]重心C的坐标为（0,

3.91）COxy例题18（3）用实验方法测定重心的位置(a)

悬挂法(a)

悬挂法AFAPAB

FBPCDE(b)

称重法(b)

称重法F1F2第一步：1P

x

-

F l

=

0CPxC=

F1

l第二步：PF

lC=x¢2P xC

-

F2

l

=

0l

=

l

cosaxC

=

xC

cosa

+

h

sin

allHl

2

-

H

2,

cosasin

a

=zCl

2

-

H

2=

r

+

F2

-

F1

1P

H空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。空间任意力系总可以用两个力来平衡。若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有

个；若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有

个；

若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有

个。

思考题PPabP

c6.

沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力P，如图示，欲使此力系