消费者最优化原理分析

消费者最优化原理分析第1页，课件共48页，创作于2023年2月一、预算约束设消费集合为，价格体系为

，消费者收入为

r。消费者进行选择时，要受到两方面条件限制：客观条件与经济条件。客观条件限制：包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的范围，即消费集合X。因此，客观条件限制可表示为x

X。经济条件限制：主要是价格与收入对消费选择的限制，消费者必须在收入许可的范围内选择。经济条件限制可表示为

p

xr。理性消费者不能去偷、去抢、去骗，但可以赊账消费或借款消费。然而这不是说可免费消费，赊账和借款相当于扩大收入，然后在收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱收入约束。预算约束：是指由客观条件限制(xX)与经济条件限制(

p

x

r)给消费选择造成的制约条件。预算约束可表示为：要求消费选择行为

x

必须服从条件“(x

X)(

p

x

r)”。第2页，课件共48页，创作于2023年2月=

(b1,

b2,,

b)，这就证明了

(

p,

r)的有界性。至于

(

p,

r)的闭性，则从可知。这样，

(

p,

r)

是有界闭集。(一)预算集合预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，是消费集合

X

的子集

(

p,

r)={xX

:p

xr}。超平面p

x=r叫做预算线。

(

p,r)X(预算集合)

证明：既然

X

下有界，存在向量

a

使得x

a

=

(

a1,a2,,a)对一切

xX

成立。令

bi=

(r-pa

+

pi

ai)

/

pi

(

i

=

1,2,,

)。对任何

x

(

p,

r)，既然

p≫0且

x

a

，我们有0

pi

(xi–

ai)

p

(x

–

a)

r

–

p

a，从而pi

xi

r

–

p

a+pi

ai

(

i

=

1,2,,

)。可见，

a

x

bp

x

=

r

(预算线)定理在X

为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系

p≫0

及收入

r，预算集合

(

p,

r)

都是有界闭集，从而是紧集。第3页，课件共48页，创作于2023年2月(二)最低生活保障

国家为了维护人民生活，建立了最低生活保障制度。这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系

p

下消费集合X

中的最低支出

I(

p)

=

inf

{

p

x:xX

}。

最低生活保障制度是一种保证收入

r

不低于

I(

p)

的制度。条件

r

I(

p)

就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。

定理

设

X

为消费集合，p

为价格体系，r

为消费者收入。(1)如果

X

且

r

>

I(

p)，则

(

p,r)

；(2)如果

X是非空下有界闭集，p≫0

且

r

I(

p)，则预算集合

(

p,r)

是非空有界闭集

。第4页，课件共48页，创作于2023年2月二、马歇尔需求效用最大化是指消费者在预算约束下进行最满意的消费。准确地讲，设消费集合为X

，偏好关系为。在价格体系p

和收入

r

下，消费者的(马歇尔)需求集合

D(

p,

r)

是指

(

p,

r)

中最好的商品向量的全体：D(

p,

r)

=

{x

(

p,r):(z

(

p,r))(

z

x

)}。定理马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x,

yD(

p,

r))(x

~

y)。无预算线差异曲线

(

p,

r)第5页，课件共48页，创作于2023年2月马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案，这个方案就是消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求(向量)，简称为需求(向量)。第6页，课件共48页，创作于2023年2月第7页，课件共48页，创作于2023年2月第8页，课件共48页，创作于2023年2月最优解：斜率相等。切点是最优点第9页，课件共48页，创作于2023年2月五、应用事例现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些?问题2：涨价补贴对消费者是否有利？商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为

p，消费者收入为

r，消费者的选择为

xD(

p,

r)。第10页，课件共48页，创作于2023年2月(一)

所得税与消费税的比较

征收销售税：税率向量为t

=

(

t1,

t2,,

t)，ti为购买一单位商品

i

的税额。按税率

t

征收销售税，相当于价格从

p

上升到

p+

t，于是需求从xD(

p,

r)

变到yD(

p+t,

r)，所纳的税额为T

=

t

y。注意y

(

p+t,r

)

(

p,r)，故

y

x。

征收所得税：把销售税改为所得税，直接从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的税额T

=

t

y，则预算集合变为

(

p,r-

T

)，消费者选择变为zD

(

p,r-

T

)。xxyyz

(

p+t,r)

(

p,r)

结果比较：可以看出，

y

(

p,

r-T

)，因而y

z。这说明：虽然缴纳的税额相同,

但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。

(

p,

r-T

)第11页，课件共48页，创作于2023年2月(二)价格补贴发放办法比较不许涨价：在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的选择为xD(

p,r)。允许涨价：允许商品涨价，把价格补贴发放给消费者。涨价后的价格体系为q，补贴使得消费者收入从r

提高到s，消费者的选择从

x

变为

yD(q,s)。补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴额=

q

x

p

x，也即q

x

=

s。结果比较：x

(q,s)，x

y。这说明“允许涨价，把补贴发给消费者”比“不许涨价，把补贴发给生产者”对消费者来说更为有利些。

(

p,r)xxy第12页，课件共48页，创作于2023年2月§2

支出最小化任何人都希望在保持生活水平不变的条件下最小化自己的支出而非最大，这也是经济学的一个先验命题。支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。正常人都会有想占便宜的正常心理，谁不想以较少的效用换得较多的效用呢？因此，支出最小化当然也要算作经济人理性的构成部分。准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。第13页，课件共48页，创作于2023年2月第14页，课件共48页，创作于2023年2月第15页，课件共48页，创作于2023年2月第16页，课件共48页，创作于2023年2月最优支出第17页，课件共48页，创作于2023年2月例：已知CES效用函数请推出对应的支出函数受约束于希克斯需求函数第18页，课件共48页，创作于2023年2月将最优解带入得支出函数第19页，课件共48页，创作于2023年2月收入=支出第20页，课件共48页，创作于2023年2月最优点等于支出函数的斜率替代效应收入效应价格效应第21页，课件共48页，创作于2023年2月一、支出约束现在，我们按照支出最小化的思路，来分析一下消费者的最优选择。假定消费者目前面临着一种可以选择的消费方案为

xX

，商品的价格体系为

p。这样，消费方案

x

的支出便为p

x。消费者是否要选定x

作为消费行动呢？这取决于是否还有其他不比

x

差的可行消费方案

y能使支出(

py)变得更少。如果这样的方案

y

存在，那么消费者不会选择

x。至于是否选择

y

作为行动方案，则又取决于是否存在不比

x差而支出比

y还少的其他可行消费方案

z。

这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比

x

差而支出能进一步减少的可行方案。可以看出，每次选择都在集合

E(x)

=

{

yX

:y

x}

中进行。该集合

E(x)

就称为消费者在方案x

处的支出集合，条件“yE(x)”叫做

x

处的支出约束。支出集合X第22页，课件共48页，创作于2023年2月对任何。其中

u

:

X

R

为消费者的效用函数。显然，。(一)支出函数支出函数支出函数

e(

p,

x)正表达了支出最小化的意义：与

x

相比，在不降低生活水平的条件下，寻求支出最小化。对任何及任何

x,yX

，只要

x

~

y，就有

e(

p,

x)

=

e(

p,

y)。对任何及任何

xX

，e(

p,

x)

+

e(

q,

x)e(

p+q,

x)。对任何，xX及任何实数

t

>

0，都有

e(t

p,

x)

=

t

e(

p,

y)。对任何

xX

，e(

p,

x)

都是价格p

的凹函数。效用水平支出函数：第23页，课件共48页，创作于2023年2月

当e(

p,

x)=I(

p)时，支出达到消费集合

上的最小支出，再也没有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在

x,

yX

使得

x

y

但e(

p,

x)

=

e(

p,

y)。这意味着E(x)中的最小支出点

x*

(即

px*

=

e(

p,

x))和E(

y)中的最小支出点

y*都在X上，如下图所示。在点

x

处，本来x*是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：同(二)最低支出限制样支出下，还有更优的消费方案y*。

鉴于这个原因，通常考虑支出最小化问题时，总是要求e(

p,

x)

>

I(

p)。这个条件叫做最低支出限制，符合该条件的消费方案的全体是集合。定理对于理性消费者(X,

)

来说，在任何价格

p

>>

0

下，对任何

x,

yX

(

p)，都有

这就是支出函数的效用性质。无差异曲线

pX第24页，课件共48页，创作于2023年2月

在既定的价格体系p下，对于

xX

，支出集合

E(x)

中的最小支出点

x*

(即

x*E(x)

且px*

=

e(

p,

x))

所代表的消费方案，就叫做价格体系

p

下方案

x

处的希克斯需求(向量)。

用

H(

p,

x)

表示价格下方案

x

处的希克斯需求向量的全体，称为价格

p

下方案

x

处(或效用水平[x]上)的希克斯需求集合，即H(

p,

x)={zE(x):(yE(x))(p

z

p

y

)}二、希克斯需求对任何

p>>

0及任何

x,yX

，只要

x

~

y，就有

H(

p,

x)

=

H(

p,

y)。对任何

p

>>

0及任何

xX

，若

H(

p,

x)

，则

pH(

p,

x)

=

e(

p,

x)。希克斯需求法则：对任何价格向量

p,

q

及任何

zX

，都有(xH(

p,z))(yH(

q,z))

(

(

p

q)(x

y)

0

)

即希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系。

证明：注意，x,yE(z)。xH(

p,z)说明

p

x

p

y；yH(

q,z)说明

q

x

q

y。因此，

p

x

q

x

p

y

q

y，即(

p

q)(x

y)

0。第25页，课件共48页，创作于2023年2月存在性定理

如果消费集合是下有界非空闭子集，并且偏好关系

连续，则对任何价格向量

p≫0及任何消费方案xX

，都有

H(

p,

x)

。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在。

(一)希克斯需求的存在性

希克斯需求的存在性是一个基本问题。如果说希克斯需求集合

H(

p,

x)是空集，那么支出最小化理论便是空谈。xp

证明：X

为下有界非空闭集及

p>>0意味着集合B

=

{zX

:(z

x)(

pz

px)}是非空有界闭集。注意，函数pz

(zX

)

在

E(x)上的最小值与在

B

上的最小值一致，且pz为连续函数，而连续函数在有界闭集上必有最小值。故希克斯需求存在。B第26页，课件共48页，创作于2023年2月(二)希克斯需求的唯一性

希克斯需求的唯一性也是一个基本问题。如果唯一性成立，则消费从支出最小化角度的选择便是明确的。唯一性定理

设消费集合

X

是凸集，偏好

连续且严格凸，则对于服从最低支出限制的任何价格向量

p和消费方案

xX

，希克斯需求集合H(

p,

x)中最多只有一种消费方案。

反证法：假如存在y,

y

H(

p,

x),y

y

,如右图所示,则p

y

=p

y

=

e(

p,

x)

>

I(

p),从而存在wX满足p

w<p

y

。这样，wx。

的严格凸性保证了y

x。

的连续性保证了在连接

w

和

y

的线段上存在z

满足：z

~

x且

p

z

<

p

y=

p

y。这与

y

H(

p,

x)相矛盾！xy

H(

p,

x)y

H(

p,

x)y

=

–(

y+y)wz12第27页，课件共48页，创作于2023年2月(三)希克斯需求的保效性保效性定理

设消费集合X

是凸集，偏好

连续,则对服从最低支出限制的任何价格向量

p

和消费方案

xX

，希克斯需求集合H(

p,

x)中的每种方案都与

x

无差异。

yH(

p,x),y

xw

x

p

w

<

p

y

反证法：假如存在

yH(

p,

x)使

y

x。则存在wX

使得

p

w

<

p

y且w

x。z

x

,

p

z

<

p

yxX

p

偏好

的连续性保证了在连接

w和

y

的线段上，存在一点

z

使得z

~

x且

p

z

<

p

y。这与

y

H(

p,

x)相矛盾！条件分析：p≫0的要求在希克斯需求存在性中不可少，最低支出条件

e(

p,

x)

>I(

p)在希克斯需求唯一性不可少。这样，由p≫0

和

e(

p,

x)

>

I(

p)

确定的价格-方案组合具有特别重要的意义。鉴于此，我们用

来专门表示这种价格-方案组合的全体，即=

{(

p,x)R

X

:(

p

≫

0)(e(

p,

x)

>

I(

p))}第28页，课件共48页，创作于2023年2月三、希克斯需求映射

希克斯需求的存在性和唯一性表明，在假设

HC

和偏好关系连续、严格凸的条件下，希克斯需求确定了一个映射

h:

X如下：((

p,x))(

H(

p,

x)={h(

p,

x)})即

h(

p,

x)

就是

H(

p,

x)

中的那个唯一的方案。称这个映射

h:

X

为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数

hi(

p,

x)

称为消费者的希克斯需求函数(

i

=

1,2,,)。显然，希克斯需求映射具有下述三条性质：零阶齐次性：对任何(

p,x)

及实数

t

>

0，都有h(

t

p,

x)

=

h(

p,

x)。效用不变性：对任何(

p,x)，h(

p,

x)~

x

。反向变动性：对任何(

p,x),(q,

x)，(

p

q)(

h(

p,

x)

h(

q,

x))

0。即价格与需求反向变动。第29页，课件共48页，创作于2023年2月四、效用与支出的对偶从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此，效用最大化与支出最小化是相互对偶的问题。对偶定理

设消费集合

X是的下有界非空凸闭子集，是无满足的连续凸偏好。对任何

(

p,r)

和

(

p,x)，都有：(zD(

p,r))(

zH(

p,

z))，即效用最大时支出也最小；(zH(

p,

x))(

zD(

p,e(

p,

x)))，即支出最小时效用也最大；如果

还严格凸,则

(

p,

r)

=

h(

p,

(

p,

r))且h(

p,

x)

=

(

p,

e(

p,

x))。

对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需求一致。既然如此，消费最优化问题就既可以从效用最大化出发，也可以从支出最小化出发来解决。鉴于这个原因，今后我们直接从效用最大化出发来研究消费者需求。凡提到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。z第30页，课件共48页，创作于2023年2月§3

消费者均衡

消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可以把马歇尔需求向量x*D(

p,

r)叫做消费者的均衡向量。问题是：怎样才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为此，我们将根据具体情况，要使用如下一些假设中的一个或几个：

(X,

)是理性消费者，即

X

满足假设HC，

连续、凸、无满足；

的效用函数

u:X

R

满足假设

HU；

消费者均衡x*

在消费集合内部实现，即

x*D(

p,

r)

X

。假定价格体系为

p

>

0，消费者收入为

r。利用效用函数

u(x)，效用最大化问题可表述为：maxu(x)s.t.px

r。在需求服从瓦尔拉定律的情况下，不等式约束“p

x

r”可用等式约束“p

x

=r”替代，从而效用最大化问题变得更加明确：第31页，课件共48页，创作于2023年2月

在需求服从瓦尔拉定律的情况下，效用最大化问题可用拉格朗日乘数法求解。首先，构造拉格朗日函数

L(x,

)

=

u(x)

+

(r

–

p

x)；然后，设

x*X

是效用最大化问题的解；最后，根据拉格朗日乘数法，存在实数

使得L(x,

)在(x*,

)

处的各个一阶偏导数全为零：

这就是说，消费者的均衡向量

x*

必然是方程组的解。鉴于这个原因，我们把方程组叫做效用最大化边际方程或边际等式(marginalequation)，其中实数

叫做拉格朗日乘数，简称拉氏乘数，。边际方程的重要作用在于它表达了消费者实现效用最大化的一阶条件：不但是必要条件，而且是充分条件。一、实现均衡的一阶条件第32页，课件共48页，创作于2023年2月

证明：在定理的条件下，效用最大化只能在预算线上实现，于是根据拉格朗日乘数法可知，存在实数

使得u

(x*)

=

p

且

p

x*

=

r。现在，我们只需证明拉氏乘数

>

0。注意，定理的条件保证了u(x*)

0。而

x*D(

p,

r)

X

又保证了

u(x*)

0，这是因为对任何xX，若x

<

x*，则px

px*

=

r，从而u(x)

u(x*)。由此便可推知

u(x*)

0。结果

u

(x*)

>

0，故

>

0。定理(必要条件)

设理性消费者(X,)的效用函数

u:

X

R

在

X

内部可微并且(xX

)(u

(x)

0)。对任何价格向量

p

>

0、收入r

及消费向量x*X

，若x*D(

p,

r)(即x*是消费者的均衡)，则存在实数

>

0使

u

(x*)

=

p

且

p

x*

=

r，即

(x*,

)

满足边际方程：(一)一阶必要条件第33页，课件共48页，创作于2023年2月1.必要条件的序数效用意义：替代法则边际替代率：在消费方案

x

处，商品i

对商品

j

的边际替代率是指当商品

i

的消费增加一单位时，在保持效用水平不变的情况下商品

j

的消费减少量。即

MRSi,j=

(d

xj/d

xi)=ui(x)

/uj(x)。市场交换率：商品i

对商品

j

的市场替代率是指市场上一个单位的商品

i

所能换得的商品

j

的数量,即商品

i

与商品

j

的价格比

pi

/pj。替代法则：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市场交换率。增加i

的消费，减少j

的消费，方可提高效用。减少i

的消费，增加

j

的消费，方可提高效用。第34页，课件共48页，创作于2023年2月2.必要条件的基数效用意义：边际法则边际效用均等法则：均衡时，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的；拉格朗日乘数就是均衡时货币收入的边际效用。

如果把边际方程中的效用函数理解为基数效用函数，则边际方程蕴含着更深刻的意义：边际效用均等法则。增加i

的消费，减少j

的消费，方可提高效用。减少i

的消费，增加

j

的消费，方可提高效用。第35页，课件共48页，创作于2023年2月(二)一阶充分条件定理(充分条件)

设消费集合X

是的凸子集，效用函数

u(x)

连续、拟凹且在

X

内部连续可微。则对任何价格向量

p

>

0、收入

r

及消费向量x*X

，若存在实数

>

0

使

u

(x*)

=

p

且

p

x*

=

r，则x*D(

p,

r)(即x*是消费者的均衡)。

证明.首先注意，u(x)

弱拟凹(连续+拟凹

弱拟凹)。要证明

x*D(

p,

r)，就是要证明(xX

)(

(

p

x

r)

(u(x)

u(x*))

)。

第一步，先证明(xX

)(

(u(x)

u(x*))

(

p

x

r)

)。为此，任意给定

xX

使得

u(x)

u(x*)。u的弱拟凹性保证了对任何

t(0,1)，都有

u(

t

x+(1-

t)

x*)

u(x*)。于是，既然

>

0，因此p

x

p

x*=r。第一步的结论得证。第36页，课件共48页，创作于2023年2月

从

x*X

知，存在

wX

使

w

<<

x*。由于

p

>

0，因此pw

<

px*

=

r。根据第一步的结论，便知u(w)<u(x*)<u(x)。

u(x)的连续性保证了存在

t(0,

1)

使得

u(tw+(1t)x)

=

u(x*)(连续函数介值定理)。记

z

=

tw

+

(1t)x，则我们有：

p

z

=t

pw

+(1

t)

px<t

r

+(1

t)

r

=

r

可见，u(z)

=

u(x*)

且

p

z

<

r。再根据1.充分条件的证明第一步的结论，可知p

z

r，这与

p

z

<

r

相矛盾！矛盾的结果表明反证法的假定是错误的，故只有(xX

)((u(x)>u(x*))(

p

x

>

r))成立。这一结果意味着(xX

)(

(

p

x

r)

(u(x)

u(x*))

)，定理得证。

第二步，再证明(xX

)(

(u(x)

>

u(x*))

(

p

x

>

r)

)。用反证法，假定存在xX

使得u(x)

>

u(x*)但

px

r。Xz第37页，课件共48页，创作于2023年2月

商品间的替代法则：如果在

x*处，任何两种商品之间的边际替代率都等于它们相应的价格比，即那么

x*就是消费者在价格p

和收入

r下的均衡。2.充分条件的意义

边际效用均等法则：如果在

x*处，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的，即那么

x*就是消费者在价格p

和收入

r下的均衡。充分条件定理意味着商品之间的替代法则和边际效用均等法则不仅仅只是均衡的必要条件，通过这两条法则足以能够判断消费者是否实现了均衡。第38页，课件共48页，创作于2023年2月二、内部均衡与边界最差现象一阶条件要求均衡位于消费集合内部(即内部均衡)。内部消费的特点，就是可沿任何方向对这种消费进行调整。而边界消费就没有如此的好处：若要调整边界消费，则必须考虑调整方向是否可行的问题。因此，一般情况下，边界消费总是要比内部消费差些，这就是边界消费最差现象，我们将其作为一个假设。

边界最差假设：(xX

)(y

X

)(

x

y)。

此假设是生活水平较高的体现。那种有食无衣、有衣无食的生活正是最差的边界生活。在此假设下，均衡必然在消费集合内部实现：既有衣物，又有食物。这正是内部均衡定理表述的事实。

内部均衡定理假定理性消费者(

X,

)服从边界最差假设。则对于任何(

p,

r),都有

D(

p,

r)

X

。进而如果还是内部严格凸的，则需求映射

:

X

得以确定且((

p