一元二次方程的解法5篇

一元二次方程的解法5篇

一元二次方程的解法5篇

一元二次方程的解法(1)

22.2.3一元二次方程的解法-公式法

教学目标：

1、使同学娴熟地应用求根公式解一元二次方程。

2、使同学经受探究求根公式的过程，培育同学抽象思维力量。

3、在探究和应用求根公式中，使同学进一步熟悉特别与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：把握一元二次方程的求根公式，并应用它娴熟地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较简单，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

（1）word/media/image1_1.png(2)word/media/image2_1.png

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否讨论出一种更好的方法，快速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探究同底数幂除法法则

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程word/media/image3_1.png配方呢?

老师引导同学用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让同学分组争论沟通，达成共识：

由于word/media/image4_1.png，方程两边都除以word/media/image5_1.png，得

word/media/image6_1.png

移项，得

word/media/image7_1.png

配方，得

word/media/image8_1.png

即word/media/image9_1.png

问题2：当word/media/image10_1.png，且word/media/image11_1.png时，word/media/image12_1.png大于等于零吗？

让同学思索、分析，得出结论：当word/media/image10_1.png时，由于word/media/image11_1.png，所以word/media/image13_1.png，从而word/media/image14_1.png。

问题3：在讨论问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让同学争论、沟通，从中得出结论，当word/media/image10_1.png时，一般形式的一元二次方程word/media/image3_1.png的根为word/media/image15_1.png，即word/media/image16_1.png。

由以上讨论的结果，得到了一元二次方程word/media/image3_1.png的求根公式：word/media/image16_1.png（word/media/image10_1.png）

这个公式说明方程的根是由方程的系数word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思索：当word/media/image10_1.png时，方程有实数根吗？

三、例题

例1、解下列方程：

1、2269450156a53152ebb904b99f81d836.png；2、de4470d004ada76e16c240ed89c597a7.png；

3、12859857bc6798532c2a06285ba9b6d0.png；4、467c4036a2c6253fbcf1e8e8c8cf814e3.png

教学要点：（1）对于方程（2），首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定word/media/image5_1.png、word/media/image17_1.png、word/media/image18_1.png值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算word/media/image23_1.png的值，再代入公式。

例2、（补充）解方程word/media/image24_1.png

解：这里word/media/image25_1.png，word/media/image26_1.png，word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png

由于负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让同学反思以上解题过程，归纳得出：

当word/media/image29_1.png时，方程有两个不相等的实数根；

当word/media/image30_1.png时，方程有两个相等的实数根；

当word/media/image31_1.png时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、Ｐ42练习。

2、阅读Ｐ54“阅读材料”。

小结:

依据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学沟通一下。

作业:略

一元二次方程的解法(2)

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程的解法是每一个中同学都必需把握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于具体的讲解.另外,还将介绍某些特别的一元二次方程的解法.

在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简洁的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.

我们要依据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.

一、直接开平方法

解形如word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）和word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的一元二次方程,用直接开平方法.

用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:

（1）把一元二次方程化为word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）或word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的形式;

（2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;

（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

留意:

（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合全部的一元二次方程的求解;

（2）对于一元二次方程word/media/image1.gif,当word/media/image5.gif时,方程无解;

（3）对于一元二次方程word/media/image3.gif:

word/media/image6.gif当word/media/image7.gif时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

word/media/image8.gif当word/media/image9.gif时,一元二次方程有两个相等的实数根;

word/media/image10.gif当word/media/image11.gif时,一元二次方程没有实数根.

例1.解下列方程:

（1）word/media/image12.gif;（2）word/media/image13.gif.

分析:观看到两个方程的特点,都可以化为word/media/image1.gif（word/media/image2.gif≥0）的形式,全部选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1）word/media/image14.gif

word/media/image15.gif

∴word/media/image16.gif;

（2）word/media/image17.gif

word/media/image18.gif

∴word/media/image19.gif.

例2.解下列方程:

（1）word/media/image20.gif;（2）word/media/image21.gif.

分析:观看到两个方程的特点,都可以化为word/media/image3.gif（word/media/image4.gif≥0）的形式,全部选择用直接开平方法求解.

解:（1）word/media/image22.gif

word/media/image23.gif

∴word/media/image24.gif或word/media/image25.gif

∴word/media/image26.gif;

（2）word/media/image27.gif

word/media/image28.gif

∴word/media/image29.gif

∴word/media/image30.gif或word/media/image31.gif

∴word/media/image32.gif.

习题1.下列方程中,不能用直接开平方法求解的是

（A）word/media/image33.gif（B）word/media/image34.gif

（C）word/media/image35.gif（D）word/media/image36.gif

习题2.若word/media/image37.gif,则word/media/image38.gif_________.

习题3.若word/media/image39.gif为方程word/media/image40.gif的两根,且word/media/image41.gif,则word/media/image42.gif

（A）word/media/image43.gif（B）word/media/image44.gif（C）1（D）3

习题4.解下列方程:

（1）word/media/image45.gif;（2）word/media/image46.gif.

习题5.解下列方程:

（1）word/media/image47.gif;（2）word/media/image48.gif.

习题6.对于实数word/media/image49.gif,我们用符号word/media/image50.gif表示word/media/image49.gif两数中较小的数,如word/media/image51.gif.

（1）word/media/image52.gif_________;

（2）若word/media/image53.gif,则word/media/image54.gif_________.

习题7.已知直角三角形的两边长word/media/image55.gif满意word/media/image56.gif,求这个直角三角形第三边的长.

（留意分类争论第三边的长）

二、因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:

（1）移项把方程的右边化为0;

（2）化积将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

（3）转化令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;

（4）求解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

例1.用因式分解法解方程:word/media/image57.gif.

解:word/media/image58.gif

word/media/image59.gif

∴word/media/image60.gif或word/media/image61.gif

∴word/media/image62.gif.

例2.用因式分解法解方程:word/media/image63.gif.

解:word/media/image64.gif

word/media/image65.gif

∴word/media/image66.gif或word/media/image67.gif

∴word/media/image68.gif.

例3.解方程:word/media/image69.gif.

解:word/media/image70.gif

word/media/image71.gif

∴word/media/image72.gif.

例4.解方程:word/media/image73.gif.

解:word/media/image74.gif

word/media/image75.gif

∴word/media/image67.gif或word/media/image61.gif

∴word/media/image76.gif.

因式分解法解高次方程

例5.解方程:word/media/image77.gif.

解:word/media/image78.gif

word/media/image79.gif

∴word/media/image67.gif或word/media/image66.gif或word/media/image80.gif或word/media/image81.gif

∴word/media/image82.gif.

例6.解方程:word/media/image83.gif.

解:word/media/image84.gif

word/media/image85.gif

∵word/media/image86.gif

∴word/media/image87.gif

∴word/media/image67.gif或word/media/image66.gif

∴word/media/image88.gif.

用十字相乘法分解因式解方程

对于一元二次方程word/media/image89.gif,当word/media/image90.gif≥0且word/media/image91.gif的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.

例7.解方程:word/media/image92.gif.

分析:word/media/image93.gif,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解:word/media/image94.gif

∴word/media/image81.gif或word/media/image61.gif

∴word/media/image95.gif.

例8.解方程:word/media/image96.gif.

分析:word/media/image97.gif,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解:word/media/image98.gif

∴word/media/image99.gif或word/media/image100.gif

∴word/media/image101.gif,word/media/image102.gif.

例9.设方程word/media/image103.gif的较大根为word/media/image104.gif,方程word/media/image105.gif的较小根为word/media/image106.gif,求word/media/image107.gif的值.

解:word/media/image103.gif

word/media/image108.gif

∴word/media/image66.gif或word/media/image109.gif

∴word/media/image110.gif

∵word/media/image104.gif是该方程的较大根

∴word/media/image111.gif

word/media/image105.gif

word/media/image112.gif

∴word/media/image66.gif或word/media/image113.gif

∴word/media/image114.gif

∵word/media/image106.gif是该方程的较小根

∴word/media/image115.gif

∴word/media/image116.gif.

习题1.方程word/media/image117.gif的根是__________.

习题2.方程word/media/image118.gif的根是__________.

习题3.方程word/media/image119.gif的解是__________.

习题4.方程word/media/image120.gif的解是__________.

习题5.假如word/media/image121.gif,那么word/media/image122.gif的值为

（A）2或word/media/image123.gif（B）0或1

（C）2（D）word/media/image123.gif

习题6.方程word/media/image124.gif的根是__________.

习题7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程word/media/image125.gif的根,则该三角形的周长为__________.

习题8.解下列方程:

（1）word/media/image126.gif;（2）word/media/image127.gif;

（3）word/media/image128.gif;（4）word/media/image129.gif.

习题9.解下列方程:

（1）word/media/image130.gif;（2）word/media/image131.gif.

习题10.解方程:word/media/image132.gif.

三、配方法解

用配方法解一元二次方程word/media/image133.gifword/media/image134.gif共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.

（1）一移把常数项移到方程的右边,留意变号;

word/media/image135.gif

（2）二化在方程的左右两边同时除以二次项系数word/media/image104.gif,化二次项系数为1;

word/media/image136.gif

（3）三配即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;

word/media/image137.gif

word/media/image138.gif

（4）四开直接开平方;

word/media/image139.gif（留意:当word/media/image90.gif≥0时方程有实数根）

（5）五转把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;

word/media/image140.gif或word/media/image141.gif

（6）解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

word/media/image142.gif.

说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:

一元二次方程word/media/image133.gifword/media/image134.gif有实数根的条件是word/media/image90.gif≥0,求根公式为:

word/media/image143.gif.

例1.用配方法解方程:word/media/image144.gif.

解:word/media/image145.gif

word/media/image146.gif

∴word/media/image147.gif或word/media/image148.gif

∴word/media/image149.gif.

例2.解方程:word/media/image150.gif.

分析:根据用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”.

解:word/media/image151.gif

word/media/image152.gif

word/media/image153.gif

∴word/media/image154.gif或word/media/image155.gif

∴word/media/image156.gif.

例3.用配方法解关于word/media/image122.gif的方程:

word/media/image157.gif（word/media/image158.gif≥0）.

解:word/media/image159.gif

word/media/image160.gif

∴word/media/image161.gif

∵word/media/image158.gif≥0

∴word/media/image162.gif.

说明:

word/media/image158.gif≥0既是二次根式word/media/image163.gif有意义的条件,也是一元二次方程word/media/image157.gif有实数根的前提.因此把word/media/image158.gif叫做一元二次方程word/media/image157.gif的根的判别式.

习题1.用配方法解方程word/media/image164.gif,配方后的方程是

（A）word/media/image165.gif（B）word/media/image166.gif

（C）word/media/image167.gif（D）word/media/image168.gif

习题2.若方程word/media/image169.gif可以通过配方写成word/media/image170.gif的形式,那么word/media/image171.gif可以配成

（A）word/media/image172.gif（B）word/media/image173.gif

（C）word/media/image174.gif（D）word/media/image175.gif

习题3.用配方法解方程:

（1）word/media/image176.gif;（2）word/media/image177.gif;

（3）word/media/image178.gif;（4）word/media/image179.gif.

四、公式法

一元二次方程的求根公式

一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）的求根公式为:

word/media/image143.gif（word/media/image181.gif≥0）

当word/media/image182.gif时,一元二次方程无实数根.

例1.证明一元二次方程的求根公式.

分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.

证明:word/media/image133.gif

word/media/image183.gif

∴word/media/image140.gif或word/media/image184.gif

∴word/media/image142.gif

即一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）的根为word/media/image143.gif（word/media/image181.gif≥0）.

留意:当word/media/image181.gif≥0时,一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）有实数根;当word/media/image182.gif时,二次根式word/media/image185.gif无意义,方程无实数根.

公式法解一元二次方程的一般步骤:

用公式法解一元二次方程的一般步骤是:

（1）把一元二次方程化为一般形式;

（2）确定word/media/image186.gif的值,包括符号;

（3）当word/media/image181.gif≥0时,把word/media/image186.gif的值代入求根公式求解;当word/media/image182.gif时,方程无实数根.

例1.用公式法解方程:word/media/image187.gif.

分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定word/media/image186.gif的值,包括符号.

解:word/media/image188.gif

∴word/media/image189.gif

∴word/media/image190.gif

∴word/media/image191.gif.

例2.解下列方程:

（1）word/media/image192.gif;（2）word/media/image193.gif.

解:（1）word/media/image194.gif

word/media/image195.gif

∴word/media/image196.gif

∴word/media/image197.gif;

（2）word/media/image198.gif

word/media/image199.gif

∴word/media/image200.gif

∴word/media/image201.gif.

说明:当word/media/image202.gif时,一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）有两个相等的实数根.

例3.解方程:word/media/image203.gif.

解:word/media/image204.gif

∴word/media/image205.gif

∴word/media/image206.gif.

用公式法解一元二次方程获得的启示

对于一元二次方程word/media/image133.gif（word/media/image180.gif）,可以用word/media/image186.gif的值确定方程解的状况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式word/media/image185.gif有意义的条件即为方程有解的条件:当word/media/image181.gif≥0时,二次根式word/media/image185.gif,一元二次方程有实数根;当word/media/image182.gif时,二次根式word/media/image185.gif无意义,一元二次方程无实数根.

（1）当word/media/image207.gif时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

（2）当word/media/image202.gif时,方程有两个相等的实数根.

把word/media/image181.gif叫做一元二次方程根的判别式,用“word/media/image91.gif”表示,所以word/media/image208.gif.在不解方程的前提下,可以由word/media/image91.gif的符号确定一元二次方程根的状况.

习题1.解方程:

（1）word/media/image209.gif;（2）word/media/image210.gif;

（3）word/media/image211.gif;（4）word/media/image212.gif.

习题2.已知word/media/image104.gif是一元二次方程word/media/image213.gif的两个实数根中较小的根.

（1）求word/media/image214.gif的值;

（2）化简并求值:word/media/image215.gif.

五、换元法

解某些高次方程或具有肯定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变简单为简洁的目的.

换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.

用换元法解某些高次方程

例1.解方程:word/media/image216.gif.

分析:这是一元四次方程,可设word/media/image217.gif（留意:word/media/image218.gif≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于

word/media/image218.gif的一元二次方程.

解:设word/media/image217.gif,则有:word/media/image218.gif≥0

∴word/media/image219.gif

word/media/image220.gif

∴word/media/image221.gif或word/media/image222.gif

∴word/media/image223.gif

∵word/media/image218.gif≥0

∴word/media/image224.gif（word/media/image225.gif舍去）

∴word/media/image226.gif

∴word/media/image227.gif.

用换元法解具有肯定结构特点的方程

例2.解方程:word/media/image228.gif.

分析:留意到该方程中整体word/media/image229.gif消失了两次,可整体设元,从结构上简化方程.

解:设word/media/image230.gif,则有:word/media/image231.gif

word/media/image232.gif

∴word/media/image233.gif或word/media/image234.gif

∴word/media/image235.gif

∴word/media/image236.gif或word/media/image237.gif

∴word/media/image238.gif.

例3.解方程:word/media/image239.gif.

分析:本题中的方程若绽开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有特别明显的结构特点,可整体换元,不用绽开即可得到一个简洁的一元二次方程.

解:设word/media/image240.gif,则有:word/media/image241.gif

word/media/image242.gif

∴word/media/image243.gif或word/media/image244.gif

∴word/media/image245.gif

∴word/media/image246.gif或word/media/image247.gif

解方程word/media/image246.gif得:word/media/image248.gif;

解方程word/media/image247.gif得:word/media/image249.gif

综上,原方程的解为word/media/image250.gif.

例4.解方程:word/media/image251.gif.

分析:方程中word/media/image252.gif与word/media/image253.gif互为倒数,若设word/media/image254.gif,则word/media/image255.gif,经过这样的换元,最终可把原方程转化为关于word/media/image256.gif的整式方程,且为一元二次方程.

解:设word/media/image254.gif,则有:word/media/image257.gif

整理得:word/media/image258.gif

word/media/image259.gif

∴word/media/image260.gif

∴word/media/image261.gif或word/media/image262.gif

由word/media/image261.gif得:word/media/image263.gif,此时方程无解;

由word/media/image262.gif得:word/media/image264.gif,解之得:word/media/image265.gif.

综上,原方程的解为word/media/image265.gif.

例5.解方程:word/media/image266.gif.

分析:设word/media/image267.gif,则word/media/image268.gif.

解:word/media/image266.gif

word/media/image269.gif

设word/media/image267.gif,则有:word/media/image270.gif

word/media/image271.gif

∴word/media/image272.gif或word/media/image273.gif

∴word/media/image274.gif

∴word/media/image275.gif或word/media/image276.gif

由word/media/image275.gif得:word/media/image277.gif,此时方程无解;

由word/media/image276.gif得:word/media/image278.gif,解之得:word/media/image279.gif.

综上,原方程的解为word/media/image279.gif.

本题变式:已知实数word/media/image122.gif满意word/media/image266.gif,那么word/media/image280.gif的值是

（A）1或word/media/image281.gif（B）word/media/image123.gif或2（C）1（D）word/media/image281.gif

例6.已知word/media/image282.gif,求word/media/image283.gif的值.

分析:整体设元:设word/media/image284.gif,则word/media/image285.gif≥0,据此留意根的取舍.

解:设word/media/image284.gif,则有:word/media/image285.gif≥0

∴word/media/image286.gif

整理得:word/media/image287.gif

解之得:word/media/image288.gif

∵word/media/image285.gif≥0∴word/media/image289.gif

∴word/media/image283.gif的值为3.

习题1.解下列方程:

（1）word/media/image290.gif;（2）word/media/image291.gif.

习题2.解方程:word/media/image292.gif.

习题3.阅读下面的材料,回答问题:

解方程word/media/image293.gif,这是一个一元四次方程,依据该方程的特点,它的解法通常是:

设word/media/image217.gif,则原方程变形为:word/media/image294.gifword/media/image6.gif

解之得:word/media/image295.gif

当word/media/image296.gif时,word/media/image297.gif,解之得:word/media/image298.gif;

当word/media/image299.gif时,word/media/image300.gif,解之得:word/media/image301.gif.

综上,原方程的解为:word/media/image302.gif.

（1）在由原方程得到方程word/media/image6.gif的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;

（2）解方程:word/media/image303.gif.

特别一元二次方程的解法举例

某些方程的解需采纳特别的处理和方法,下面列举几例.

例1.解方程:word/media/image304.gif.

分析:若把该方程绽开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设word/media/image305.gif,这样就能把原方程转化为关于word/media/image256.gif的一元二次方程.

解:设word/media/image305.gif,则原方程可转化为:word/media/image306.gif

∴word/media/image307.gif

word/media/image308.gif

∴word/media/image233.gif或word/media/image309.gif

∴word/media/image310.gif

∴word/media/image311.gif或word/media/image312.gif

由word/media/image311.gif得:word/media/image313.gif,解之得:word/media/image314.gif;

由word/media/image312.gif得:word/media/image315.gif,此时方程无解.

综上,原方程的解为word/media/image314.gif.

例2.解方程:word/media/image316.gif.

解法1:当word/media/image122.gif≥0,原方程可化为:word/media/image317.gif,解之得:word/media/image318.gif（word/media/image319.gif舍去）;

当word/media/image320.gif时,原方程可化为:word/media/image321.gif,解之得:word/media/image322.gif（word/media/image323.gif舍去）.

综上所述,原方程的解为word/media/image68.gif.

解法2:原方程可化为:word/media/image324.gif

∴word/media/image325.gif

∵word/media/image326.gif

∴word/media/image327.gif

∴word/media/image68.gif

∴原方程的解为word/media/image68.gif.

解法3:（图象法）原方程可化为:word/media/image328.gif

设word/media/image329.gif,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.

word/media/image330_1.png

∵两个函数的图象有两个交点word/media/image331.gif和word/media/image332.gif

∴方程word/media/image328.gif有两个实数根,且根为word/media/image88.gif

∴原方程的解为word/media/image88.gif.

习题1.参按例2的解法,解方程:word/media/image333.gif.

例3.解方程:word/media/image334.gif.

解:word/media/image335.gif

∴word/media/image336.gif

设word/media/image337.gif,则有:word/media/image338.gif

∴word/media/image339.gif

∴word/media/image340.gif

当word/media/image341.gif时,解之得:word/media/image342.gif;

当word/media/image343.gif时,此时方程无解.

综上所述,原方程的解为word/media/image342.gif.

习题2.方程word/media/image344.gif的全部根的和为_________.

习题3.已知实数word/media/image122.gif满意word/media/image266.gif,那么word/media/image280.gif的值是

（A）1或word/media/image281.gif（B）word/media/image123.gif或2（C）1（D）word/media/image281.gif

一元二次方程的解法(3)

22.2.3一元二次方程的解法-公式法

教学目标：

1、使同学娴熟地应用求根公式解一元二次方程。

2、使同学经受探究求根公式的过程，培育同学抽象思维力量。

3、在探究和应用求根公式中，使同学进一步熟悉特别与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：把握一元二次方程的求根公式，并应用它娴熟地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较简单，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

（1）(2)

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否讨论出一种更好的方法，快速求得一元二次方程的实数根呢

二、探究同底数幂除法法则

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程配方呢?

老师引导同学用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让同学分组争论沟通，达成共识：

由于，方程两边都除以，得

移项，得

配方，得

即

问题2：当，且时，大于等于零吗

让同学思索、分析，得出结论：当时，由于，所以，从而。

问题3：在讨论问题1和问题2中，你能得出什么结论

让同学争论、沟通，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。

由以上讨论的结果，得到了一元二次方程的求根公式：（）

这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思索：当时，方程有实数根吗

三、例题

例1、解下列方程：

1、；2、；

3、；4、4

教学要点：（1）对于方程（2），首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算的值，再代入公式。

例2、（补充）解方程

解：这里，，，

由于负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让同学反思以上解题过程，归纳得出：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、Ｐ42练习。

2、阅读Ｐ54“阅读材料”。

小结:

依据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法通常你是如何选择的和同学沟通一下。

作业:略

一元二次方程的解法(4)

《一元二次方程的解法》教案

一、教学目标

（一）学问教学点：熟悉形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．

（二）力量训练点：培育同学精确     而简洁的计算力量及抽象概括力量．

（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向同学渗透数学新学问的学习往往由未知（新学问）向已知（旧学问）转化，这是讨论数学问题常用的方法，化未知为已知．

二、教学重点、难点和疑点

1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．

3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

三、教学步骤

（一）明确目标

在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“假如x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简洁的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

（二）整体感知

通过本节课的学习，使同学充分熟悉到：数学的新学问是建立在旧学问的基础上，化未知为已知是讨论数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．同学通过本节课的学习应深刻领悟数学以旧引新的思维方法，在已学学问的基础上开发同学的创新意识．

一元二次方程的解法：开平方法

1．复习提问

（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移项，得x2＝4．

两边开平方，得x＝±2．

∴

x1＝2，x2＝-2．

分析

x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使同学体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．同学在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

3．例1

解方程9x2-16＝0．

解：移项，得：9x2=16，

此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法老师板书，同学回答，再次强化解题

负根．

例2

解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，

两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．

练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采纳直接开平方法便可以求解．

例3

解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移项，得：（2-x）2＝81．

两边开平方，得：2-x=±9

∴

2-x＝9或2-x＝-9．

∴

x1=-7，x2＝11．

练习：解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

（四）总结、扩展

1．假如一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，