4 1正弦函数余弦图象

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正弦函数、余弦函数的图象课标定位素养阐释了解利用三角函数的定义画正弦曲线的方法.能用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.体会直观想象的过程,提升直观想象和逻辑推理素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思

想

方

法随

堂

练

习自主预习·新知导学一、正弦函数的图象1.画函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法画正弦函数y=sin

x在区间[0,2π]上的图象,可取哪些点?提示:描点法;可取

x=0,𝛑

𝛑

𝛑

𝟐𝛑

𝟓𝛑,π,…时的各点.𝟔

𝟑

𝟐

𝟑

𝟔2.如何在平面直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出y=sin

x在区间[0,2π]上的图象?提示:把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使x0的值分别为0应的纵坐标y0=sinx0.先画出点(x0,y0),再将这些点用光滑的曲线连接起来,就得到函数y=sin

x在区间[0,2π]上的图象.𝟔

𝟑

𝟐0,𝛑

𝛑 𝛑,…,2π

,再在单位圆中,利用正弦函数的定义,得出x

对3.正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.𝟐

𝟐4.函数

y=sin

x,x∈

-

𝛑

,

𝟑𝛑

的简图是(

)答案:B二、“五点法”作正弦函数的图象在确定正弦函数的图象时,哪些点是关键点?提示:作y=sin

x,x∈[0,2π]的图象时,所取的关键点是(0,0),

𝛑

,

,(π,0),

𝟑𝛑

,-

和(2π,0).𝟐

𝟐“五点法”画正弦函数图象的一般步骤是什么?提示:列表 描点 连线.3.在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点:(0,0)

,𝛑

,𝟐

𝟐,(π,0),

𝟑𝛑

,-

和(2π,0).再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图,这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.4.用“五点法”画y=2sin

x,x∈[0,2π]的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(

)A.0,𝛑,π,𝟑𝛑,2π

B.0,𝛑𝟐

𝟐

𝟒D.0,𝛑𝟐𝛑𝛑

𝟑𝛑,π𝟐

𝟒𝛑

𝛑𝟔

𝟑

𝟐

𝟑C.0,π,2π,3π,4π答案:A三、余弦函数的图象1.如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象?𝟐提示:把y=sin

x,x∈R

的图象向左平移𝛑个单位长度,即可得到y=cos

x,x∈R

的图象.2.在确定余弦函数在区间[0,2π]上的图象时,哪些点是关键点?提示:确定余弦函数在区间[0,2π]上的图象,所取的关键点是(0,1),

𝛑

,

,(π,-1),

𝟑𝛑

,

,(2π,1).𝟐

𝟐3.余弦函数y=cos

x,x∈R的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.4.不等式cos

x<0,x∈[0,2π]的解集为

.解析:由函数y=cos

x,x∈[0,2π]的图象可知,不等式

cos

x<0

的解集为

𝛑

,

𝟑𝛑

.𝟐

𝟐答案:

𝛑

,

𝟑𝛑𝟐

𝟐【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”.(1)正弦函数y=sin

x(x∈R)的图象关于x轴对称.(

×

)(2)正弦函数y=sin

x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.(×)√(3)余弦函数y=cos

x的图象与x轴有无数个交点.(

)(4)余弦函数y=cosx的图象与y=sinx的图象形状和位置都不一样.(

×

)合作探究·释疑解惑【例1】用“五点法”画出下列函数的简图.y=1+2sin

x,x∈[0,2π];y=2+cos

x,x∈[0,2π].分析:在区间[0,2π]上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.探究一用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象解:(1)列表:x

0𝝅𝟐

π𝟑𝝅

𝟐

2πsin

x

0 1

0

-1 01+2sin

x

1

3

1

-1

1𝟐

𝟐在平面直角坐标系中描出五点(0,1),

𝛑

,

,(π,1),

𝟑𝛑,-

,(2π,1),然后用光滑的曲线连接起来,就得到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象,如图所示.(2)列表:π2πx0𝝅𝟑𝝅𝟐𝟐cos

x10-1012+cos

x32123描点连线,如图.反思感悟“五点法”是画三角函数图象的常用方法,“五点”即三角函数图象与x轴的交点、最高点和最低点.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点.【变式训练1】用“五点法”画出y=sin-𝛑

,x∈𝛑

,𝟓𝛑

的图象.𝟐

𝟐

𝟐解:列表:x𝝅𝟐π𝟑𝝅𝟐2π𝟓𝝅𝟐x-𝝅𝟐0π2πsin-

𝝅𝟐010-10描点连线,如图.探究二利用“图象变换法”画三角函数的图象【例2】利用图象变换法画出下列函数的图象:(1)y=1-cos

x,x∈[0,2π];(2)y=𝟑𝛑𝟐,x∈[-2π,2π].分析:(1)先画函数y=cosx的图象,再得到y=-cosx的图象,最后得到y=1-cosx的图象;(2)先将解析式化简为y=|cosx|,再画出函数y=cos

x的图象,最后得到y=|cos

x|的图象.解:(1)先用“五点法”画出函数y=cos

x的图象,再画该图象关于

x轴的对称图象,得到y=-cosx的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得y=1-cos

x的图象(如图).象,y=cosx的图象在x轴上方的图象保持不动,将x轴下方的图象关于x轴作轴对称翻折到x轴上方,即得y=|cosx|的图象(如图).(2)由于y=𝟑𝛑𝟐=|cos

x|

,因此只需画出y=|cos

x|的图本例中,如何利用图象变换画出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?解:因为

y=sin|x|=

-,-,,为偶函数,所以先用五点法画出函数y=sin

x,x∈[0,2π]的图象,再画出函数在区间[0,2π]上的图象关于y

轴对称的图象,进而得函数在区间[-2π,2π]上的图象(如图所示).反思感悟图象变换的规律1.左右平移变换函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.2.对称变换函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到的;函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左边得到的;(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.探究三利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式【例3】求不等式sin

x≥𝟏的解集.𝟐解:如图,在同一平面直角坐标系下,画函数y=sin

x,x∈[0,2π]𝟐的图象以及直线y=𝟏.𝟐由特殊角的正弦值,可知直线y=𝟏与函数y=sin

x,x∈[0,2π]的图象的交点的横坐标为𝛑

和𝟓𝛑.𝟔

𝟔所以当0≤x≤2π

时,sin

x≥𝟏的解集为{x

𝛑≤x≤𝟓𝛑}.𝟐

𝟔

𝟔故不等式

sin

x≥𝟏的解集为{x

𝛑≤x≤2kπ+𝟓𝛑,k∈Z}.𝟐

𝟔

𝟔𝟐

𝟐

𝟐1.将本例中的“sin

x≥𝟏”改为“𝟏<sin

x≤√𝟑”,如何求得x

的取值集合?解:

先画出

y=sin

x

在区间[0,2π]上的图象,如图,𝟐再作直线y=𝟏,根据特殊角的正弦值,可知直线y=𝟏𝟐与曲线y=sin

x,x∈[0,2π]的交点的横坐标为和𝟔

𝟔𝛑

𝟓𝛑.𝟐最后画直线y=√𝟑,该直线与曲线y=sin

x,x∈[0,2π]的交点的横坐标为𝟑

和𝟑𝛑

𝟐𝛑.𝛑观察图象可知,在区间[0,2π]上,当𝛑<x≤或𝟔

𝟑

𝟑𝟔𝟐𝛑≤x<𝟓𝛑时,√𝟑不等式𝟏<sin

x≤

成立.𝟐

𝟐所以<sin

x≤𝟏

√𝟑𝟐

𝟐的解集为{x𝛑𝟔𝛑𝟑x≤+2kπ

或𝟐𝛑+2kπ≤x<𝟓𝛑+2kπ,k∈Z}.𝟑

𝟔2.将本例改为:求不等式-√𝟑𝟐

≤𝟐cos

x≤𝟏,x∈[0,2π]的解集.解:函数y=cos

x,x∈[0,2π]的图象如图所示,作直线y=𝟏和y=-√𝟑,𝟐

𝟐𝟐

𝟐根据图象可得不等式-√𝟑≤cos

x≤𝟏,x∈[0,2π]的解集为𝛑𝟑𝟔

𝟔𝟑𝟓𝛑

或𝟕𝛑

𝟓𝛑

.反思感悟用三角函数的图象解三角不等式的方法:(1)画出相应正弦函数或余弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;(3)根据诱导公式一写出不等式的解集.【变式训练2】求函数y=-

𝟏𝟐的定义域.思

想

方

法利用数形结合思想方法解决问题【典例】

方程lg

x=sin

x的解的个数为(

)A.0

B.1

C.2

D.3审题视角:该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sinx和y=lgx是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.解:先用“五点法”画出函数y=sin

x的图象,再在同一平面直角坐标系内描出y=lg

x的图象,如图.由图象可知方程lg

x=sin

x的解的个数为3.𝟏𝟎𝟏

,- ,(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到答案:D反思感悟对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方法求解.函数的图象是研究函数的重要工具,体现了数形结合思想方法,能直观地解决抽象的代数问题.答案:C【变式训练】

方程x2-cos

x=0的解的个数为(

)A.0

B.1

C.2

D.无穷多个解析:先用“五点法”画出函数y=cosx的图象,再在同一平面直角坐标内画出y=x2的图象,如图.由图象可知方程x2=cosx,即方程x2-cos

x=0的解的个数为2.随

堂

练

习𝟐1.若点

M

𝛑

,-)A.0C.-1