测量误差和数据处理

测量误差和数据处理第1页，课件共74页，创作于2023年2月主要内容2.1随机误差2.2数据处理的基本原理与基本概念2.3直接测量值的处理2.4间接测量值的处理2.5误差分析在数据处理中的应用举例2.6系统误差分析第2页，课件共74页，创作于2023年2月难点与重点正态分布的标准差、近似标准差直接测量的数学表达式误差的合成间接测量误差的传递最小二乘法第3页，课件共74页，创作于2023年2月2.1随机误差单次测量随机误差没有规律。

但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为对称性、有界性、单峰性、抵偿性。f()第4页，课件共74页，创作于2023年2月存在的问题?测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么从测量值如何得到真实值呢？例如，室温的测量结果分别为19.2℃，19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃，那么室温究竟是多少呢？

x=A±，置信概率为px的真值落在[A-，A+]区间内的概率为pA和如何确定呢？第5页，课件共74页，创作于2023年2月数学期望和标准差1．数学期望对被测量x进行等精度n次测量，得到n个测量值x1、x2、x3、…xn，则n个测得值的算术平均值为：第6页，课件共74页，创作于2023年2月当测量次数时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。当测量次数时，测量值的数学期望等于被测量的真值。?数学期望第7页，课件共74页，创作于2023年2月根据随机误差的抵偿特性，当分析：数学期望时即第8页，课件共74页，创作于2023年2月2.1.2剩余误差（残差）

当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。

数学表达式：对上式两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为0。第9页，课件共74页，创作于2023年2月标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方σ反映了测量的精密度，σ小表示精密度高，测得值集中，σ大，表示精密度底，测得值分散。2.1.3方差与标准差第10页，课件共74页，创作于2023年2月δf(δ)2.1.4误差正态分布规律1、正态分布高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。随机误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。第11页，课件共74页，创作于2023年2月例如：δf(δ)第12页，课件共74页，创作于2023年2月①δ绝对值越小，愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。②大小相等符号相反的误差出现的概率相等。δf(δ)分析得到第13页，课件共74页，创作于2023年2月③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映了测量的精密度。σ=1σ=2第14页，课件共74页，创作于2023年2月2极限误差

从上式可见，随机误差绝对值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。因此定义极限误差：

第15页，课件共74页，创作于2023年2月随机误差的特点单峰性

误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小对称性绝对值相同，符号相反的误差出现的概率相等抵偿性测量次数n→∞时，误差总和为零有界性误差落[-3,3]的概率为0.9973

3也称为极限误差或者误差限第16页，课件共74页，创作于2023年2月经实测得到n组数据（xi,yi），i=1,…,n。见图。令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只近似满足的关系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望min对a和b的偏导数均为0，解得：

y=ax+by0(xi,yi)x如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，则可作变量替换使之转化为线性关系或用类似方法拟合。§2.2数据处理第17页，课件共74页，创作于2023年2月多项式拟合（可编程）此时

称为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。对称矩阵第18页，课件共74页，创作于2023年2月多项式形式的确定注：最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间

，通常根据物理意义，或所给数据分布情况来选取合适的数学模型。第19页，课件共74页，创作于2023年2月可得方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解：设二次拟合多项式为解得所以此数据组的二次最小二乘拟合多项式为注：(1)

若题目中没有给出各点的权值pi，默认为pi=1。(2)该方法不适合n

较大时的情形。（病态问题）例1二次多项式第20页，课件共74页，创作于2023年2月显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，我们不妨取表中的数据为例。例2举重成绩的比较举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。表中给出了1977年底九个重量级的世界纪录。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺举（公斤）抓举（公斤）成绩重量级（上限体重）第21页，课件共74页，创作于2023年2月模型1（线性模型）

将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关系式Y=kX+C，其中X为体重，Y为举重成绩。你在作图时Y轴可以放在50公斤或52公斤处，因为没有更轻级别的比赛.第22页，课件共74页，创作于2023年2月模型2（幂函数模型）

线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够想到的自然首先是幂函数模型，即令y=kxa,对此式取对数，得到lny=lnk+alnx。将原始数据也取对数，问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣的Austin公式。第23页，课件共74页，创作于2023年2月模型3（经典模型）

根据生理学中已知结果和比例关系推导出来的公式，但并不属于经验公式。为建立数学模型，先提出如下假设：

(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截面积A，即Y=k1A(2)A正比于身高L的平方，即

A=k2L2(3)体重正比于身高L三次方，即B=k3L3根据上述假设，得

K越大成绩越好，可用来比较选手成绩的优劣。

第24页，课件共74页，创作于2023年2月模型4（O’Carroll公式）

经验公式的主要依据是比例关系，假设条件非常粗糙，可信度弱，不能令人信服。Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的公式。O’Carroll模型的假设条件是：

(1)Y=k1Aa,a<1(2)A=k2Lb,b<2(3)B-Bo=k3L3

假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设（3）中将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。

故有：

根据三条假设得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，

根据统计结果，得出B0≈35公斤，

第25页，课件共74页，创作于2023年2月模型5（Vorobyev公式）

这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B，可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4类似的方法，得出了按

的大小比较成绩优劣的建议。第26页，课件共74页，创作于2023年2月138.5(8)141.9(7)135.6(7)131.8(8)175110150.3(2)152.9(2)150.5(2)148.3(2)17090152.1(1)153.5(1)152.2(1)151.3(1)162.542.5145.0(6)145.0(5)145.0(3)145.0(6)14575145.8(5)144.7(6)144.8(5)146.1(5)13567.5147.7(3)146.2(3)145.0(3)147.8(3)12560146.6(4)145.7(4)142.8(6)146.3(4)117.556138.8(7)139.7(8)134.0(8)138.2(7)10552VorobyevO’Carroll经典公式Austin抓举成绩(公斤)体重(公斤)各公式对各级别成绩优劣排序第27页，课件共74页，创作于2023年2月我们希望建立一个体重与身高之间的关系式，两者间的关系不易通过机理分析得出，不妨采取统计方法，用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。为此，我们先作抽样调查，测量了十五个不同高度的人的体重，列成了下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，既不要太胖也不要太瘦。将表中的数画到h-w平面上，你会发现这些数据分布很接近某一指数曲线。为此，对h和w均取对数，令x=lnh，y=lnw，将（xi，yi）再画到x-y平面中去（i=1,…,15），这次你会发现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的方程为y=ax+b用最小二乘法求得a≈2.3,b≈2.82，故可取y=2.32x+2.84，即lnw=2.32lnh+2.84，故有w=17.1h2.327566595451体重w（公斤）1.851.781.711.671.63身高h（米）5048413527体重w（公斤）1.601.551.511.351.26身高h（米）2017151210体重w（公斤）1.121.080.960.860.75身高h（米）例3体重与身高的关系第28页，课件共74页，创作于2023年2月2.3直接测量值的处理采用残差代替随机误差（2）有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）（1）标准差（标准误差，均方根误差）贝塞尔公式第29页，课件共74页，创作于2023年2月（3）算术平均值的标准差（4）平均值标准误差的最佳估计值

（最优概值的标准误差）最佳估计值第30页，课件共74页，创作于2023年2月有限次测量下测量结果表达式1）列出测量数据表；2）计算算术平均值、、；3）计算和；置信概率0.9973

置信概率0.9545置信概率0.68274）给出最终测量结果表达式：第31页，课件共74页，创作于2023年2月第32页，课件共74页，创作于2023年2月第33页，课件共74页，创作于2023年2月2.4间接测量值的处理研究函数误差一般有以下三个内容：①已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。②已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。③确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。

第34页，课件共74页，创作于2023年2月间接测量的误差传递假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开直接测量值间接测量值第35页，课件共74页，创作于2023年2月略去高阶项绝对误差：相对误差：间接测量的误差传递第36页，课件共74页，创作于2023年2月1、和差函数的误差传递设

，则绝对误差若误差符号不确定:相对误差：常见函数的误差传递第37页，课件共74页，创作于2023年2月

设，则绝对误差若误差符号不确定：

相对误差：积函数误差传递第38页，课件共74页，创作于2023年2月已知：R1=1kΩ，R2=2kΩ，求

解：结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。例题第39页，课件共74页，创作于2023年2月温度表量程为100℃精度为1级，t1=65℃，t2=60℃试计算温差的相对误差。解1：

℃例题第40页，课件共74页，创作于2023年2月设，则绝对误差相对误差:

若误差符号不确定：商函数误差传递第41页，课件共74页，创作于2023年2月幂函数的误差传递设，则绝对误差相对误差:若误差符号不确定：第42页，课件共74页，创作于2023年2月已知，，求。解：例题第43页，课件共74页，创作于2023年2月已知各个直接测量的标准误差…，部分误差间接测量的误差分配第44页，课件共74页，创作于2023年2月相对误差第45页，课件共74页，创作于2023年2月解决误差分配问题。通常采取的方法为

①等作用原则，②调整原则。等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=…Dn按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因:在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。间接测量的误差分配第46页，课件共74页，创作于2023年2月2.5测量误差数据处理2.5.1有效数字的处理1有效数字：从第1个不为0数字到最后数字(包括0）2

舍入原则：四舍六入，等于5时采取偶数法则。

12.5写作12；13.5写作14有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。第47页，课件共74页，创作于2023年2月2.5等精度测量结果的处理处理步骤

1）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。3）列出残差：，并验证2）求算术平均值：4）计算标准偏差：第48页，课件共74页，创作于2023年2月5）按照原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到2从新计算，直到没有坏值为止。6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差,若有应查明原因，消除后从新测量。7）求算术平均值的标准偏差：8）写出最终结果表达式。等精度测量结果的处理第49页，课件共74页，创作于2023年2月

散热器装置，设计工况L=50L/h

进出口温差℃。按照题意，误差应写成极限误差的形式。分析：直接测量为流量L，散热器进出口温度t1、t2。间接测量为热量Q。要求测量误差小于等于10%。例题第50页，课件共74页，创作于2023年2月按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为7.1%。再根据实际情况选择调整。例题第51页，课件共74页，创作于2023年2月例题使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了16次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有0.05℃的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。第52页，课件共74页，创作于2023年2月解答第53页，课件共74页，创作于2023年2月2.6系统误差分析系统误差的特性不具备补偿性寻找麻烦处理困难第54页，课件共74页，创作于2023年2月系统误差的判断1．理论分析法定性分析发现方法或原理引入的系统误差。2．校准和比对法高级别仪器定期校准或检定并给出修正值多台同型号仪器无法发现理论误差3．改变测量条件法根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。4．剩余误差观察法根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律判断有无系统误差及误差类型，该方法不能发现定值系统误差

第55页，课件共74页，创作于2023年2月剩余误差的判断N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差分类

恒定系统误差变化系统误差第56页，课件共74页，创作于2023年2月消除系统误差的根源要减少系统误差要注意以下几个方面。采用的测量方法及原理正确。仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，正规使用。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。条件许可时尽量采用数显仪器。提高操作人员的操作水平及技能。第57页，课件共74页，创作于2023年2月第58页，课件共74页，创作于2023年2月2.6.5削弱系统误差的方法1．零示法:第59页，课件共74页，创作于2023年2月2替代法（置换法）

在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。这两种方法主要用来消除定值系统误差。第60页，课件共74页，创作于2023年2月2替代法换位/替代法曹冲称象第61页，课件共74页，创作于2023年2月1利用修正方法加以消除2多台同型号仪器随机化处理3智能仪器中系统误差的消除

（1）直流零位校准（2）自动校准

削弱系差的其他方法第62页，课件共74页，创作于2023年2月自动空调控制器建筑空调供冷量应随室内温度变化而变化，做到节能。此时，温度调节器扮演重要角色第63页，课件共74页，创作于2023年2月2.6.6系统误差的计算计算方法同间接误差第64页，课件共74页，创作于2023年2月

2.7误差的合成由多个不同类型的单项误差求测量的总误差2.7.1随机误差合成若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差分别为σ1、σ2、σ3、…、σk则随机误差合成的总标准差σ为：第65页，课件共74页，创作于2023年2月若以极限误差表示，则合成的极限误差为：

当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。

随机