理论力学章刚体

理论力学章刚体第1页，课件共61页，创作于2023年2月xyzy”NO第2页，课件共61页，创作于2023年2月§4.2刚体的角速度角位移为n

位移为r=nr角速度定义：

ω

=

dn

/dtrrr+r第3页，课件共61页，创作于2023年2月xyzy”NO第4页，课件共61页，创作于2023年2月§4.3刚体上任一点的线速度和加速度1、无平动的转动线位移:

dr=dnr线速度:

v=

dr

/dt

=(dn/dt)r

=ωr加速度：a=

dv

/dt

=d(ωr)/dt

=(dω/dt)r+ω(ωr)任一常模矢量

A对时间的微商为:dA

/dt=

ωA第5页，课件共61页，创作于2023年2月§4.3刚体上任一点的线速度和加速度2、平动+转动固定基点法(

C为刚体上固定基点)线速度:

v=vC

+ωr加速度：a=aC

+(dω/dt)r+ω(ωr)运算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

a=aC

+(dω/dt)r+ω(ω·r

)-ω2

r

对平面平行运动ω⊥r,

a=aC

+(dω/dt)r-ω2

r

第6页，课件共61页，创作于2023年2月证明：刚体角速度与参考点无关。证:

以A’为参考点,角速度ω’

;

以A’’为参考点,角速度ω’’

。

vP=

vA’

+

ω’×A’P

=

vA’’

+

ω’’

×A’’P

∵vA’’=

vA’

+

ω’

×A’A’’

∴vA’

+ω’×A’P

=

vA’

+ω’×A’A’’

+ω’’

×A’’P

→

ω’

×(A’P

-A’A’’

)=ω’’×A’’P

→

ω’

×A’’P

=ω’’×A’’P

→

ω’

=ω’’

O参考原点A’’A’P第7页，课件共61页，创作于2023年2月(2)瞬时转轴法①平面平行运动已知刚体的角速度ω和刚体上某一点P的线速度vP，总可过P点作一条和vP垂直的直线PQ，并使Q点的位置满足条件：

vP=ω

rPQ取Q点为基点。基点Q的特点：

Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为零，Q点的位置不固定，所以Q点称为瞬时转动中心或瞬时转心。第8页，课件共61页，创作于2023年2月确定瞬时转心的方法(1)

刚体上瞬时速度为零的点必为瞬时转心；(2)已知刚体上A点和B点的速度方向，分别过A点和B点作vA和vB的垂线，其交点Q必为瞬时转心。②一般运动

也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。ABQvAvB第9页，课件共61页，创作于2023年2月例1：半径为R的轮子在直线轨道上无滑滚动，质心C的速度为常数vo求轮子边缘上任一点P的速度和加速度。解：1、固定基点法

OyoxoCQPvovCvPω

rCP第10页，课件共61页，创作于2023年2月OyoxoCQPvovCvPω

rCP第11页，课件共61页，创作于2023年2月2、瞬时转心法轮子和轨道接触点Q为瞬时转心，所以OyoxoCQPvovCvPω

rCP第12页，课件共61页，创作于2023年2月例：半径为r的圆盘垂直于地面作纯滚动，圆盘中心C以速率vC=1R沿着半径为R的圆周运动，求圆盘边缘上任一点P的速度。解：圆盘运动可视为绕点O的定点转动，OQ为其瞬时转动轴线。RQO12CPijk21CO第13页，课件共61页，创作于2023年2月圆盘角速度用欧拉角来表示。第14页，课件共61页，创作于2023年2月§4.4刚体运动的动力学方程ABPO’O第15页，课件共61页，创作于2023年2月第16页，课件共61页，创作于2023年2月第17页，课件共61页，创作于2023年2月第18页，课件共61页，创作于2023年2月第19页，课件共61页，创作于2023年2月第20页，课件共61页，创作于2023年2月第21页，课件共61页，创作于2023年2月第22页，课件共61页，创作于2023年2月3、惯量主轴的求法利用惯量椭球方程惯量椭球有三条相互垂直的主轴，以此三主轴为坐标轴，则椭球方程中的交叉项统统为零，即惯量积为零。所以，惯量主轴即为惯量椭球的三条主轴，采用坐标转动变换来实现。(2)根据质量对称分布可以证明三条相互垂直的质量对称轴即为惯量主轴。第23页，课件共61页，创作于2023年2月第24页，课件共61页，创作于2023年2月第25页，课件共61页，创作于2023年2月h=axyzm1a/2m2m3oa第26页，课件共61页，创作于2023年2月第27页，课件共61页，创作于2023年2月第28页，课件共61页，创作于2023年2月§4.5刚体的平面平行运动动力学方程分别为：质心定理：F外

=mdvc/dt质心转动定律：M外C=IC

=ICd/dt刚体总能量：E=EK+EP

=mvC

2/2+ICω2/2+EP角动量：LZ=IZ

垂直轴定理：IZ=IX+IY平行轴定理：IZ=IC+md2

第29页，课件共61页，创作于2023年2月例：均匀圆柱体沿固定斜面无滑动滚下，求圆柱体的加速度和约束反作用力。解：质心C：xC=R，yC=0。体系广义坐标选为xC体系动能：AONmgxyFy’C第30页，课件共61页，创作于2023年2月AONmgxyFy’C第31页，课件共61页，创作于2023年2月例：半径为R的偏心圆盘在水平面上作平面平行运动，圆盘的质量为m，质心C离几何中心的距离为d，写出圆盘的运动方程。设圆盘只滚不滑。OCRrdFNF第32页，课件共61页，创作于2023年2月第33页，课件共61页，创作于2023年2月§4.6欧拉动力学方程BωAPQO第34页，课件共61页，创作于2023年2月第35页，课件共61页，创作于2023年2月第36页，课件共61页，创作于2023年2月讨论：可解情况欧勒——潘索情况重力的合力通过定点(一般说重心或质心).因而对O点,外力矩为0,刚体作惯性转动，如回转仪，地球自转等情况。(2)拉格朗日——泊松情况对定点O的惯量椭球是旋转椭球(Ix=Iy≠Iz)，而刚体的重心在椭球的旋转轴上，如重力陀螺仪。(3)柯凡律夫斯卡雅情况对定点O的惯量椭球也是旋转椭球，而且有(Ix=Iy=2Iz)，刚体的重心在惯量椭球的赤道平面上。第37页，课件共61页，创作于2023年2月xyzoαω第38页，课件共61页，创作于2023年2月第39页，课件共61页，创作于2023年2月§4.8刚体的自由转动第40页，课件共61页，创作于2023年2月1、潘索的几何法：

取刚体的质心为定点O，取O点的惯量主轴为Oxyz的三个坐标轴，则惯量椭球方程为

Ixx2+Iyy2+Izz2=1

角动量L的方向和大小不变，取为Ox’轴方向。

在L

方向的投影L是常数L=·L/L=2E/L(2)设惯量椭球的交点为N，ON的长度为，则

rON=/，所以N点的坐标为

x=x

/，y=y

/，z=z

/。→2(Ixx2+Iyy2+Izz2)

/2=1→22E/2=1→=/(2E)1/2第41页，课件共61页，创作于2023年2月N(x,y,z)Q(x’,y’,z’)Oen求过点和惯量椭球相切的平面方程第42页，课件共61页，创作于2023年2月第43页，课件共61页，创作于2023年2月第44页，课件共61页，创作于2023年2月刚体自由转动的描述作刚体的中心惯量椭球，过质心O作角动量

L，并取一点O’，令OO’=(2E)1/2/L.

过O’点作一和L垂直的平面，这个平面就是上述的不变平面，它必与中心惯量椭球相切与N点，rON的方向即为角速度的方向，也即瞬时转轴的方向。LO’ON刚体运动时，点位置将不断改变，但由于点在瞬时转轴上，它的瞬时速度必为零，因此中心惯量椭球(即刚体)只能在平面上作纯滚动。第45页，课件共61页，创作于2023年2月2、欧拉法(对称陀螺Ix=Iy)第46页，课件共61页，创作于2023年2月(2)对称陀螺的欧拉角描述zoz第47页，课件共61页，创作于2023年2月例：一回转仪Ix=Iy=2Iz依惯性绕重心转动并作规则进动(即恒速进动)。已知此回转仪的自转角速度为ω1，并知其转轴与进动轴间的夹角θ=60o，求进动角速度ω2。第48页，课件共61页，创作于2023年2月第49页，课件共61页，创作于2023年2月§4.9

拉格朗日陀螺

(定点转动,Ix=Iy,重心在对称轴上)OxyzXYZCmgθ第50页，课件共61页，创作于2023年2月第51页，课件共61页，创作于2023年2月第52页，课件共61页，创作于2023年2月E’θ1θ2πUeff第53页，课件共61页，创作于2023年2月cab第54页，课件共61页，创作于2023年2月§4.10快速陀螺(回转仪)的近似理论第55页，课件共61页，创作于2023年