高考数学总复习对数与对数函数理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章§2.对数与对数函数理-A3演示文稿设计与制作

§2.6对数与对数函数

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考

§2.6对数与对数函数双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作__________，其中a叫作对数的底数，_____叫作真数．b＝logaNN(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10______自然对数底数为____lnNlgNe2．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝___，②logaa＝1，③＝_____运算性质如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：(1)loga(Mn)＝_________________，(2)logaMn＝__________________，(3)Loga＝__________________换底公式logbN＝

(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)0NlogaM＋logaNnlogaM(N∈R)logaM－logaN.思考感悟1．试结合换底公式探究logab与logba，logambn与logab之间的关系？3．对数函数的定义、图像与性质定义函数____________

(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数图像a＞10＜a＜1y＝logax性质(1)定义域：___________(2)值域：______(3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，______；当0＜x＜1时，________(4)当x＞1时，_______；当0＜x＜1时，________(5)是(0，＋∞)上的_________(5)是(0，＋∞)上的__________(0，＋∞)Ry＞0y＜0y＜0y＞0增函数减函数思考感悟2．如何确定图中函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数．∴0<c<d<1<a<b.

4．反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝______

(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线______对称．logaxy＝x课前热身1．(2010年高考四川卷)2log510＋log50.25等于(

)A．0

B．1C．2 D．4答案：C2．在同一坐标系内，函数y＝x＋a与y＝logax的图像可能是(

)答案：C3．下列不等式成立的是(

)A．log32＜log23＜log25B．log32＜log25＜log23C．log23＜log32＜log25D．log23＜log25＜log32答案：A4．(教材习题改编)函数y＝log(3－x)(x＋1)的定义域为________．答案：(－1,2)∪(2,3)5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.答案：log2x考点探究•挑战高考考点突破考点一对数式的化简与求值对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数相关的问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．例1【思路点拨】运用对数的基本性质及对数的运算性质，将对数式进行合并或分解等化简、变形得到结果．【解】

(1)由已知，得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，∴f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0.∴函数f(x)的值以6为周期重复性出现，∴f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－1.【误区警示】对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误．考点二对数式的大小比较1．比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成．(1)a>1，f(x)>0，g(x)>0，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；(2)0<a<1，f(x)>0，g(x)>0，则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)．2．比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数与1的大小关系，然后再比较．(1)若a>b>1，如图1.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)；当0<f(x)<1时，logaf(x)>logbf(x)．(2)若1>a>b>0，如图2.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x)；当1>f(x)>0时，logaf(x)>logbf(x)．(3)若a>1>b>0.当f(x)>1时，则logaf(x)>0>logbf(x)；当0<f(x)<1时，则logaf(x)<0<logbf(x)．3．比较大小常用的方法(1)作差(商)法；(2)利用函数的单调性法；(3)特殊值法(特别是以1和0为中间值)．例2A．①与③

B．①与④C．②与③

D．②与④【答案】

(1)A

(2)D【名师点评】比较大小，往往要先判断正、负，再根据函数的单调性进行比较，必要时要与0、1或其他中间值进行比较．互动探究1将本例(2)中的条件0＜a＜1改为a＞0且a≠1结论如何？考点三对数函数的图像与性质的应用利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．例3【规律小结】

(1)求与对数有关的函数定义域就是求使真数大于0，底数大于0且不等于1的集合；(2)y＝logax的单调性取决于底数a，当底数a的大小不确定时，需对底数a分a>1与0<a<1两种情况进行讨论；(3)logaf(x)>b⇔logaf(x)>logaab，然后利用单调性，去掉对数符号：若a>1，则f(x)>ab；若0<a<1，则0<f(x)<ab.变式训练2已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．解：∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau在[0,1]上是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数，方法感悟方法技巧1．熟练掌握对数的运算法则、对数恒等式以及换底公式，善于正用、逆用、变形用，这些公式是解答对数式的化简与求值的关键．(如例1)2．研究对数型函数的图像时，一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1和0＜a＜1两种不同情况．有些看似复杂的问题，借助于函数图像来解决，就显得简单了，这也是数形结合思想的重要体现．(如课前热身2)3．对于对数函数的性质，要注意底数是否大于1.当a>1时，f(x)＝logag(x)的单调性与g(x)>0时的单调性一致；当0<a<1时，f(x)＝logag(x)的单调性与g(x)>0的单调性相反．(如例3)4．无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质，首先要分清其底数a∈(0,1)还是a∈(1，＋∞)，其次再看定义域．如果将函数变换，务必保证等价性．(如例2)失误防范1．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．要通过研究函数的性质明确函数图像的位置和形状，要记忆函数的性质可借助于函数的图像．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像．考情分析考向瞭望•把脉高考本节内容在高考中属必考内容，考查重点有以对数的运算性质为依据，考查对数运算、求函数值，通过比较大小、求单调区间、解不等式等考查对数函数的单调性以及考查与对数函数有关的综合问题等．考查热点是对数函数的性质．题型以选择题、填空题为主，属中低档题．预测2012年高考仍以对数函数性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力．真题透析例【名师点评】

(1)本题易失误的是：①三角变换公式不熟，在变形的过程中出错；②对数的运算性质和指数的运算性质记混，导致简单问题复杂化，还得不出正确结论．(2)对数的运算常有两种解题思路：一是将对数的和、差、积、商、幂转化为对数真数的积、商、幂；二是将式子化为最简单的对数的和、差、积、商、幂，合并同类项后再进行运算．解题过程中，要抓住式子的特点，灵活使用运算法则．名师预测1．若a＝log3π，b＝log43，c＝log50.9，则

(

)A．a＞b＞c

B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：选A.a＝log3π＞log33＝1，b＝log43＜log44＝1且b＞0，c＝log50.9＜log51＝0，∴a＞b＞c.3．已知0＜x＜y＜1，M＝log2x＋log2y，则有

(

)A．m＜0 B．0＜m＜1C．1＜m＜2 D．m＞2解析：选A.由0＜x＜y＜1，得0＜xy＜1，故m＝log2x＋log2y＝log2xy＜log21＝0，故选A.4．函数f(N)＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，定义：使f(1)·f(2)·…·f(k)为整数的数k(k∈N＋)叫作企盼数，则在区间[1,10]内这样的企盼数共有________个．解析：依题意，有f(1)＝log23，f(2)＝log34，f(3)＝log45，…，f(k)＝logk＋1(k＋2)，则有f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝log2(k＋2)，令log2(k＋2)＝n，则k＝2n－2，由k∈[1,10]，得1≤2n－2≤10，∴3≤2n≤12，∵n∈N＋，∴n＝2,3，故所求的企盼数共有2个．答案：2感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P