高考数学总复习等差数列理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第5章§5.2等差数列理-A3演示文稿设计与制作§5.2等差数列

§5.2等差数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于__________，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为___________________．同一个常数an＋1－an＝d(n∈N＋)2．等差数列的有关公式通项公式数列{an}是等差数列，公差为d，an＝a1＋_________.求和公式数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝_____________=_________等差中项公式若三个数a，A，b成等差数列，则中项A＝___________.(n－1)d思考感悟已知等差数列{an}的第m项am及公差d，则它的第n项an为多少？提示：an＝am＋(n－m)d.

3．等差数列的主要性质(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则________________.(2)已知等差数列中任意两项am、an，则d＝______.(3)等差数列的单调性设d为等差数列{an}的公差，则当d>0时，数列{an}为____数列；当d<0时，数列{an}为____数列；当d＝0时，数列{an}为__数列．am＋an＝ap＋aq递减递增常(4)①若数列{an}成等差数列，则{pan＋q}(p，q为常数)也成等差数列；②若数列{an}成等差数列，则{apn＋q}(p，q∈N＋)也成等差数列；③若数列{an}和{bn}成等差数列，则{an±bn}也成等差数列；④等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差数列．课前热身1．已知等差数列{an}中，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则数列的通项公式an为(

)A．2n

B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋2答案：C2．(2010年高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(

)A．5 B．6C．8 D．10答案：A3．(2009年高考湖南卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(

)A．13 B．35C．49 D．63答案：C4．已知{an}是等差数列，a3＋a8＝22，a7＝9，则a4＝________.答案：135．(教材习题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n，则{an}的首项为________，公差为________．答案：4

2考点探究•挑战高考考点突破考点一等差数列的判定1．等差数列的判定通常有两种方法：(1)利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，(2)利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．例1【名师点评】判定数列是等差数列常用定义，而判断数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．考点二等差数列中基本量的计算例2【名师点评】第(2)问从命题的设置可以看出高考命题者要求考生研究分式的整除性，因此，首先需要将分子am和am＋1转化成am＋2的代数形式，再利用分离分子的方法研究分式的整除，得到满足条件的正整数m的解，我们应注意还要对求出的正整数m的解进行检验．考点三等差数列的性质此类问题重点是用好等差中项的性质，单调性质，首末两项和的性质及推广，奇偶项和的性质及数列与函数、方程、不等式之间的关系．例3【解析】

(1)∵{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.【答案】

(1)C

(2)10【名师点评】灵活应用性质，可以减少运算量，大大提高解题速度．考点四等差数列的综合应用数列与函数、不等式、解析几何等综合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等式的常用方法．例4【思路点拨】

(1)利用点在函数图像上代入即可得an与an＋1的关系，易求得an.(2)可先求bn，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求bn而直接利用已知关系式迭代求证即可．【解】

(1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N＋)．【名师点评】本例采用了求差比较法，是高考常考的方法之一，可适当变形以解决它们，运算时要求准确．方法感悟方法技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．(如例1)失误防范1．如果p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必须是两项相加，当然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap.2．等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d＝0.3．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．考情分析考向瞭望•把脉高考等差数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等差数列的判定、等差数列中基本量的计算、等差数列性质的应用．近几年的试题加强了与等比数列综合问题的考查，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数方程，等价转化等思想方法．预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通项公式与前n项和公式为主要考点，重点考查运算能力和逻辑理解能力．规范解答例(本题满分12分)(2010年高考浙江卷)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．【名师点评】

(1)本题易失误的是：①解答第(2)问时直接利用第(1)问的结论；②解答第(2)问中求d的取值范围时不知从何处下手，找不到解题突破口．(2)关于数列概念性的题目多属于基本题，难度不大，要注意利用a1、d、n、an、Sn五个基本元素中“知三求二”的常规通法，更要注重对公式内容及公式变形的灵活运用．名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，