高考数学总复习函数与方程理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章§2.函数与方程理-A3演示文稿设计与制作§2.9函数与方程

考向瞭望•把脉高考§2.9函数与方程考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与__________________称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_______横轴交点的横坐标横轴零点．思考感悟1．函数的零点是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点吗？2．是否任意函数都有零点？提示：1.函数的零点不是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点，而是y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．2．并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．利用函数性质判定函数零点若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是__________，并且在区间端点的函数值符号______，即__________，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．3．二分法(1)每次取区间的_______，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中_____________的方法称为二分法．连续曲线相反f(a)f(b)<0中点一个小区间课前热身答案：C2．(教材习题改编)下列四个函数图像中，方程fi(x)＝0(i＝1,2,3,4)在区间(－∞，0)内有解的是________．答案：B答案：C4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，则g(x)＝bx2－ax的零点是________5．若函数f(x)＝ax2－x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．考点探究•挑战高考考点突破考点一函数零点个数的判断对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图像；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．例1【思路点拨】根据函数零点的概念或借助图像判断．【答案】

C【规律小结】

(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像交点的横坐标．解：显然当x≤0时，2x＞x即y＝2x－x无零点，由例1的解答可知，f(x)有1个零点．考点二确定函数零点的大致区间要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．(2010年高考天津卷)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(

)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)例2【解析】由于f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0.根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内．【答案】

C【失误点评】这类题目易出现计算错误而导致函数值与零的大小判断错误的解题错误．考点三用二分法求方程的近似解用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．求方程x3＋2x2－3x－6＝0的一个为正数的实数根(精确到0.1)．【思路点拨】令f(x)＝x3＋2x2－3x－6，则问题转化为求函数f(x)的一个正实数的零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的闭区间，而f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以可取区间[1,2]作为计算的初始区间．例3【解】令f(x)＝x3＋2x2－3x－6.由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11221.5231.51.7541.6251.7551.68751.7561.718751.7571.718751.734375由上表可知，区间[1.71875,1.734375]中的每一个数精确到0.1的近似值都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．【规律小结】在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试验估计，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果．方法感悟方法技巧1．方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．(如例1)2．如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．不变号零点不能用零点存在定理来判断，只能借助函数图像或解方程得到．(如例2)3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．(如例3)失误防范1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．(3)一般我们只讨论函数的实数零点．(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)＜0；(3)在(a，b)内存在零点．事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要．考情分析考向瞭望•把脉高考函数与方程是每年必考的知识点之一，函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一．本节考查重点是函数零点的存在性以及利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数等．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查相关函数的图像和性质．预测2012年高考仍将以函数的零点为主要考点，重点考查分析问题解决问题的能力．真题透析例(2010年高考浙江卷)设函数f(x)＝4sin(2x＋(1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(

)A．[－4，－2]

B．[－2,0]C．[0,2] D．[2,4]【思路点拨】函数在某个区间上不存在零点，不好直接判断，但可以根据三角函数值的情况，结合函数的零点定理进行分析，判断函数在哪些区间上存在零点，然后再结合排除法找到答案．【答案】

A【名师点评】

(1)函数的零点定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，即函数在一个区间端点处的函数值同号时，函数在这个区间上也可能存在零点，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点定理，要综合函数性质进行分析判断．(2)当函数在一个区间上的图像是连续的时候，若函数在区间的两个端点处的函数值异号，则函数在这个区间上一定存在零点．如果要判断一个函数在某个区间上存在零点，就可以研究这个函数在区间端点值的符号，根据这个定理进行判断．名师预测答案：B3．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(

)A．3 B．2C．1 D．0答案：3感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种