高考数学总复习空间角大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.5空间角大纲-A3演示文稿设计与制作§9.5空间角(A、B)

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.5空间角(A、B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．斜线和平面所成的角(1)斜线与斜线在平面的_______所成的角叫斜线与平面所成的角，其范围为[0°，90°]．a′与b′射影(2)直线与平面所成的角可转化为直线与直线在平面内的射影所成的角，也可用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2来计算或通过向量法求解．设平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，若直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段______，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段______．(4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角，且cosθ＝______________.相等都短cosθ1·cosθ23．二面角(1)定义：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作__________的两条射线，这两条射线所成的角叫做________________．(3)二面角的平面角的作法：①定义法；②三垂线定理法；③作棱的垂面法；④向量法．两个半平面垂直于棱二面角的平面角思考感悟1．异面直线a，b的方向向量a，b的夹角〈a，b〉是异面直线所成的角吗？2．二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗？提示：如图，用两个垂直于棱的平面γ1，γ2去截一个二面角α－a－β，由等角定理知，所截得的两个角θ1和θ2相等，这说明二面角的平面角与二面角的棱上选的点的位置无关．3．用平面的法向量，如何求线面角、二面角的大小？1．(教材例1改编)如图，AB与面α所成的角∠ABO＝45°，DC∩OD＝D，且DC⊂α，∠ODC＝45°，则异面直线AB与DC所成的角为(

)A．60°

B．45°C．30° D．90°答案：A课前热身答案：A3．下列说法正确的是(

)A．若直线l1、l2和平面α所成的角相等，则l1∥l2B．若直线l1和l2平行，则l1、l2和平面α所成的角相等C．若直线l1和l2相交，则l1、l2和平面α所成的角必不相等D．若直线l1、l2和平面α所成的角不相等，则l1与l2也可平行答案：B4．等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为________．答案：90°答案：45°考点探究·挑战高考考点突破考点一求异面直线所成的角求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成的角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所有相关条件和解题目标紧密地联系起来．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求直线B1C与DE所成角的余弦值．例1找斜线与平面所成的角，实质就是找斜线在平面内的射影，也就是找斜线上的点在平面上的射影，转化为解Rt△或用向量、或者用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.参考教材例1及习题9.7第5题．考点二求斜线与平面所成的角四面体A－BCS中，SB、SA、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点，求：(1)BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．【思路分析】由SA、SB、SC两两垂直，寻找面面垂直及线面垂直，从而作出所求的角．例2

【解】

(1)∵SC⊥SB，SC⊥SA，SA∩SB＝S，∴SC⊥平面SAB，故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角，大小为60°.【思维总结】此题采用了作角，求角的方法，转化到直角三角形求解还是比较方便的，也可以建立S－xyz的坐标系求解．互动探究1在本例中，CB与平面SAC所成的角和CA与面SCB所成的角相等吗？分别是多少．解：∵SB⊥SA，SB⊥SC，SA∩SC＝S，∴SB⊥平面SAC.∴∠SCB为CB与平面SAC所成的角．同理，SA⊥面SBC.∴∠SCA为CA与平面SCB所成的角．又∵SB＝SA，∠CSA＝∠CSB＝90°，SC＝SC∴Rt△CSA≌△Rt△CSB.∴∠SCB＝∠SCA＝90°－60°＝30°.求二面角的大小，一般先作出(或找出)其平面角．作平面角的方法常用定义法、三垂线法、作棱的垂面法．若不找平面角，可联想垂直于棱的异面直线所成的角或结合向量求解，参考教材习题9.7第5题．考点三求二面角如图，已知直二面角α－PQ－β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°，直线CA和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC⊥PQ；(2)求二面角B－AC－P的余弦值．例3【思路分析】利用面⊥面，在β内可作α的垂线，以此可作出其平面角．对于(B版)可利用建系法．【解】

(1)证明：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB.因为α⊥β，α∩β＝PQ，所以CO⊥α.又因为CA＝CB，所以OA＝OB.而∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°，∠AOB＝90°.从而BO⊥PQ.又CO⊥PQ，BO∩CO＝O，所以PQ⊥平面OBC，因为BC⊂平面OBC，所以PQ⊥BC.(2)法一：由(1)知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β＝PQ，BO⊂α，所以BO⊥β.过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC.故∠BHO是二面角B­AC­P的平面角．由(1)知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO＝30°.【思维总结】二面角是三种角中最复杂的一种，求解二面角的方法很多，其关键是求其平面角．用向量求该角时，要注意两个平面的法向量的方向．互动探究2如果例3条件不变，求二面角C—AB—P的大小(理)(文科求其余弦值)．对于没有画出“棱”的二面角，求角时，应先画出其棱，再找出平面角进行转化，或者用平面的法向量．考点四“无棱”的二面角的求法例4【思路分析】

对于面SCD与面SBA“无棱”，应根据公理2过S点可作两平面的交线．【思维总结】对于“无棱”的二面角，必须先找出棱才能找出平面角，否则就利用法向量所夹的角求二面角，省去作平面角的过程，或者利用射影面积计算．方法技巧1．“线线角抓平移，线面角定射影”，求直线和平面所成的角，关键是确定直线在平面内的射影．若不好确定斜线在平面内的射影，也可先找到斜线上的一点到平面的距离，然后利用这个距离与斜线段长之比求出线面角的正弦值，从而求出线面角．还可利用“斜线与平面所成角”与“斜线和平面的垂线所成角”互余，将线面角转化为线线角来求．如例1，例2.方法感悟2．确定二面角的平面角的常用方法(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．(2)三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个半平面上一点A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点C，连结AC则∠ACB(或其补角)即为二面角的平面角．失误防范考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的高考试题来看，考查的内容主要有：(1)两异面直线所成的角；(2)直线和平面所成的角；(3)二面角．空间角是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．结合平行、垂直关系组成综合题，难度稍大，既可用普通法求解，也可用建系、用向量求解．2010年的高考中，对角的考查很普遍，大纲全国卷Ⅰ理第7题以选择题形式考查了线面角的计算，同时第19题又考查了二面角的求法，江西文第20题同时考查了线面角与二面角的求法，上海第21题考查了异面直线所成的角．预测2012年高考仍将以选择题、填空题和解答题的形式重点考查对几类角的求解，其中解答题仍会结合平行、垂直关系和求距离一起形成综合题．求角的过程中可能会用到余弦定理，故复习的过程中要加强对余弦定理的练习和运算能力的培养．规范解答例【解】法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长AM，BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.4分(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，设为θ.8分法二：取CD中点O，连接OB、OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图：【名师点评】

本题在面面垂直、线面垂直的基本关系上，考查了线面角，二面角的求法，体现了空间几何体中作、证、算于一体的基本思想，难度稍大．其难点是本题所涉及的几何体不是常见的柱、锥等几何体，空间关系只能从正三角、面面垂直、线面垂直的性质来寻找，理清这些性质，其它问题就可迎刃而解．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若D，E，F分别为PB，PC，AC的中点，在PB上是否存在一点G，使得FG∥平面ADE？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)求二面角A－PB－C的余弦值．名师预测解：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)点G为BD的中点时，FG∥平面ADE.证明如下：取EC的中点H，连结FH，HG，FG，则FH∥AE，HG∥ED，故FH∥平面ADE，HG∥平面ADE.∵FH∩HG＝H，故平面FHG∥平面ADE，又FG⊂平面FHG，∴FG∥平面ADE.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反